Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2022

Se sitúa un objeto de altura $h$ a la izquierda de una lente convergente de distancia focal $f$. La imagen del objeto que se forma es real, invertida y de igual tamaño.
a) Determine, en función de $f$, las posiciones del objeto y de la imagen con respecto a la lente.
b) Realice el correspondiente trazado de rayos para la formación de la imagen.

$\mathbf{\text{A.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathit{h}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{real,}}\mathbf{\text{invertida}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}$

Antes de empezar conviene fijar el convenio de signos habitual en óptica geométrica (criterio DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico de la lente, las medidas hacia la derecha son positivas y hacia la izquierda negativas, y las alturas por encima del eje óptico son positivas.

Las dos ecuaciones que gobiernan la formación de imágenes en una lente delgada son la ecuación de las lentes y la del aumento lateral:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

$A_L={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

donde $s$ es la posición del objeto, $s^{\mathrm{\prime }}$ la de la imagen, $f^{\mathrm{\prime }}$ la distancia focal imagen (con $f^{\mathrm{\prime }}>0$ por ser la lente convergente), $y$ la altura del objeto e $y^{\mathrm{\prime }}$ la altura de la imagen.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{posiciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}$

Traducimos a lenguaje matemático las tres condiciones que impone el enunciado sobre la imagen:

La imagen es real. En una lente, una imagen real se forma a la derecha de la lente, en el lado opuesto al objeto, luego $s^{\mathrm{\prime }}>0$.

La imagen es de igual tamaño. El módulo del aumento lateral vale la unidad, $\mathrm{\mid }{A}_L\mathrm{\mid }=1$.

La imagen es invertida. Esto significa que está por debajo del eje, $y^{\mathrm{\prime }}<0$ (mientras que $y=h>0$).

Combinando las dos últimas condiciones, como $y^{\mathrm{\prime }}=-h$ e $y=h$, el aumento lateral es:

$A_L={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{-h}{h}}=-1$

El signo negativo confirma que la imagen está invertida y su valor absoluto que es del mismo tamaño que el objeto. Llevamos este aumento a la definición $A_L={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$:

${\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-1⟹s^{\mathrm{\prime }}=-s$

Es decir, la imagen está a la misma distancia de la lente que el objeto, pero al otro lado (el objeto a la izquierda, $s<0$; la imagen a la derecha, $s^{\mathrm{\prime }}>0$).

Sustituimos ahora $s^{\mathrm{\prime }}=-s$ en la ecuación de las lentes para hallar las distancias en función de $f^{\mathrm{\prime }}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}⟹{\displaystyle \frac{1}{-s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

$-{\displaystyle \frac{1}{s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}⟹-{\displaystyle \frac{2}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Despejando la posición del objeto:

$s=-2f^{\mathrm{\prime }}$

Y, como $s^{\mathrm{\prime }}=-s$, la posición de la imagen es:

$s^{\mathrm{\prime }}=2f^{\mathrm{\prime }}$

Por tanto, el objeto debe colocarse a una distancia doble de la focal a la izquierda de la lente (en el punto $2F$) y la imagen se forma a una distancia doble de la focal a la derecha (en el punto $2F^{\mathrm{\prime }}$):

$\boxed{{\displaystyle s=-2f^{\mathrm{\prime }}\text{(objeto en }2F\text{)}}}$

$\boxed{{\displaystyle s^{\mathrm{\prime }}=2f^{\mathrm{\prime }}\text{(imagen en }2F^{\mathrm{\prime }}\text{)}}}$

Conviene notar que, identificando $f^{\mathrm{\prime }}$ con la distancia focal $f$ del enunciado, el objeto se sitúa a una distancia $2f$ y la imagen a $2f$ al otro lado de la lente. Esta es la única configuración de una lente convergente que produce una imagen real, invertida y del mismo tamaño que el objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{formaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$

Para construir gráficamente la imagen partimos del extremo superior del objeto y trazamos dos de los tres rayos principales, cuyo punto de corte localiza el extremo de la imagen:

Un rayo paralelo al eje óptico que, tras atravesar la lente, pasa por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$.

Un rayo que pasa por el centro óptico de la lente, que no se desvía.

(Como comprobación sirve el tercer rayo: el que pasa por el foco objeto $F$ y emerge paralelo al eje.)

Al estar el objeto situado en $2F$, estos rayos se cortan, tras pasar por la lente, en el punto $2F^{\mathrm{\prime }}$ del otro lado. Allí se forma una imagen real (los rayos se cruzan realmente y podría recogerse en una pantalla), invertida (queda por debajo del eje) y del mismo tamaño que el objeto, tal como se ve en la figura.