Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean la recta $r=\{\begin{array}{l}-x-y+z=0\\ 2x+3y-z+1=0\end{array}$ y el plano $\pi \equiv 2x+y-z+3=0.$ Se pide:

a) (0.75 puntos) Calcular el ángulo que forman $r$ y $\pi$.
b) (1 punto) Hallar el simétrico del punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ con respecto al plano $z-y=0.$
c) (0.75 puntos) Determinar la proyección ortogonal de la recta $r$ sobre el plano $\pi$.

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su director es el producto vectorial de los normales.

${\vec{v}}_r=(-1,-1,1)\times (2,3,-1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& 1\\ 2& 3& -1\end{array}\mid =(-2,1,-1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

El ángulo entre recta y plano se mide con la proyección de la recta sobre él, de modo que es el complementario del que forma el director con la normal: la fórmula lleva seno.

${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,-1);{\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-4+1+1=-2$



$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$\alpha =\arcsin {\displaystyle \frac{1}{3}}={\mathrm{19,47}}^{\circ }$



Primero localizamos ese punto de intersección. Escribimos $r$ en paramétricas, tomando como punto uno que cumpla sus dos ecuaciones.

$r\equiv (1-2\lambda ,-1+\lambda ,-\lambda )$

$2(1-2\lambda )+(-1+\lambda )+\lambda +3=0\Rightarrow -2\lambda +4=0\Rightarrow \lambda =2$

$P(-3,1,-2)$

Ahora hallamos su simétrico respecto del plano $z-y=0$: recta perpendicular por $P$, pie $M$ y punto medio.

$s\equiv (-3,1-t,-2+t)$

$(-2+t)-(1-t)=0\Rightarrow 2t=3\Rightarrow t={\displaystyle \frac{3}{2}}$

$M(-3,-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$



$P^{\mathrm{\prime }}=2M-P=(-6+3,-1-1,-1+2)=(-3,-2,1)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proyecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ortogonal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

La proyección es la intersección de $\pi$ con el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. Ese plano auxiliar lleva las direcciones ${\vec{v}}_r$ y ${\vec{n}}_{\pi }$ y pasa por un punto de la recta.

${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\mid =(0,-4,-4)\parallel (0,1,1)$

$(y+1)+z=0\Rightarrow {\pi }^{\mathrm{\prime }}:y+z+1=0$

$r^{\mathrm{\prime }}\equiv \{\begin{array}{l}2x+y-z+3=0\\ y+z+1=0\end{array}$