Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las rectas

$r\equiv \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+4}{-3},s\equiv \{\begin{array}{l}x+z=2\\ -2x+y-2z=1\end{array}$

a) (1.5 puntos) Escriba una ecuación de la recta perpendicular común a $r$ y a $s$.
b) (1 punto) Calcule la distancia entre $r$ y a $s$.

De la ecuación continua de $r$ leemos punto y director; el de $s$, dada como intersección de dos planos, sale del producto vectorial de los normales.

$P(2,-1,-4),{\vec{u}}_r=(1,1,-3)$

${\vec{v}}_s=(1,0,1)\times (-2,1,-2)=(-1,0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{com}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}$

La perpendicular común lleva la dirección perpendicular a las dos rectas, que da el producto vectorial de sus directores.

$\vec{w}={\vec{u}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -3\\ -1& 0& 1\end{array}\mid =(1,2,1)$



Esa recta es la intersección de dos planos: el que contiene a $r$ y a $\vec{w}$, y el que contiene a $s$ y a $\vec{w}$. Tomamos $Q(2,5,0)\in s$.

$\pi \equiv \mid \begin{array}{ccc}x-2& y+1& z+4\\ 1& 1& -3\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =0\Rightarrow 7x-4y+z-14=0$

$\tau \equiv \mid \begin{array}{ccc}x-2& y-5& z\\ -1& 0& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =0\Rightarrow x-y+z+3=0$

$t\equiv \{\begin{array}{l}7x-4y+z-14=0\\ x-y+z+3=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}$

Los directores no son proporcionales, así que las rectas se cortan o se cruzan; en cualquier caso la fórmula del producto mixto da la distancia.

$\overrightarrow{PQ}=(2,5,0)-(2,-1,-4)=(0,6,4)$

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{PQ}\cdot ({\vec{u}}_r\times {\vec{v}}_s)\mid }{\mid {\vec{u}}_r\times {\vec{v}}_s\mid }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0+12+4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4+1}}}$

$={\displaystyle \frac{16}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{8\sqrt{6}}{3}}=\mathrm{6,53}$

Al no anularse el producto mixto, las rectas efectivamente se cruzan, y la distancia entre ellas es de $\mathrm{6,53}$ unidades de longitud.