Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2021

B.4 (2 puntos). Un rayo láser, que emite luz de longitud de onda de $488\mathrm{n}\mathrm{m}$ en el vacío, incide desde el aire sobre la superficie plana de un material con un índice de refracción de $\mathrm{1,55}$. El rayo incidente y el reflejado forman entre sí un ángulo de ${60}^{\circ }$.

a) Determine la frecuencia y la longitud de onda del rayo luminoso en el aire y dentro del medio material.

b) Calcule el ángulo que formará el rayo refractado en el material con el rayo reflejado en el aire. ¿Existirá algún ángulo de incidencia para el cual el rayo láser sufra reflexión total? Justifique la respuesta.

Datos: Índice de refracción del aire, $n_{aire}=1$; Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{luminoso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{material.}}$

Una onda electromagnética se caracteriza por su frecuencia, que viene fijada por la fuente que la emite (el láser). Al pasar de un medio a otro, lo que cambia es la velocidad de propagación, y con ella la longitud de onda; pero la frecuencia se conserva siempre, porque el número de oscilaciones por segundo que llegan a la frontera entre los dos medios debe coincidir con el número que se transmite.

Calculamos la frecuencia a partir de la relación fundamental de las ondas $v=\lambda f$ aplicada en el vacío, donde la luz se propaga a velocidad $c$ con la longitud de onda dada ${\lambda }_0$:

$f={\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_0}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades (recordando que $1\mathrm{n}\mathrm{m}={10}^{-9}\mathrm{m}$):

$f={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}{488\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}}}=\mathrm{6,15}\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$

Esta frecuencia es la misma en el vacío, en el aire y dentro del material, pues no cambia con el medio.

$\boxed{{\displaystyle f=\mathrm{6,15}\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}(\text{igual en el aire y en el medio})}}$

Para las longitudes de onda recordamos que el índice de refracción de un medio relaciona la velocidad de la luz en el vacío con la velocidad en ese medio: $n={\displaystyle \frac{c}{v}}$. Como el aire tiene $n_{aire}=1$, en él la luz se propaga prácticamente a la velocidad $c$ y la longitud de onda es igual a la del vacío:

${\lambda }_{aire}={\lambda }_0=488\mathrm{n}\mathrm{m}$

Dentro del material la velocidad disminuye, $v={\displaystyle \frac{c}{n}}$. Como la frecuencia no varía, la longitud de onda se reduce en el mismo factor. Partiendo de ${\lambda }_{medio}={\displaystyle \frac{v}{f}}$ y usando que $f={\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_0}}$:

${\lambda }_{medio}={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{c\mathrm{/}n}{c\mathrm{/}{\lambda }_0}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_0}{n}}$

Sustituyendo:

${\lambda }_{medio}={\displaystyle \frac{488\mathrm{n}\mathrm{m}}{\mathrm{1,55}}}=\mathrm{314,8}\mathrm{n}\mathrm{m}\approx 315\mathrm{n}\mathrm{m}=\mathrm{3,15}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle {\lambda }_{aire}=488\mathrm{n}\mathrm{m};{\lambda }_{medio}\approx 315\mathrm{n}\mathrm{m}}}$

La longitud de onda dentro del material es menor que en el aire, como cabía esperar: el medio es ópticamente más denso, la luz va más despacio y las "crestas" quedan más juntas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{formar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{refractado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{reflejado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire.}}\mathbf{\text{¿Existir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{sufra}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Lo primero es determinar el ángulo de incidencia a partir del dato del enunciado. Todos los ángulos (de incidencia, de reflexión y de refracción) se miden respecto a la normal a la superficie. Por la ley de la reflexión, el ángulo reflejado es igual al incidente:

${\theta }_{ref}={\theta }_{inc}$

Como el incidente y el reflejado están a uno y otro lado de la normal, el ángulo que forman entre sí es la suma de ambos:

${\theta }_{inc}+{\theta }_{ref}=2{\theta }_{inc}={60}^{\circ }⟹{\theta }_{inc}={30}^{\circ }$

Aplicamos ahora la ley de Snell de la refracción en la frontera aire–material:

$n_{aire}\mathrm{sen}{\theta }_{inc}=n\mathrm{sen}{\theta }_{trans}$

Despejando el ángulo del rayo transmitido (refractado) dentro del material:

$\mathrm{sen}{\theta }_{trans}={\displaystyle \frac{n_{aire}\mathrm{sen}{\theta }_{inc}}{n}}={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,55}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,55}}}=\mathrm{0,3226}$

${\theta }_{trans}=\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,3226})={\mathrm{18,82}}^{\circ }$

El rayo refractado se acerca a la normal (de ${30}^{\circ }$ pasa a ${\mathrm{18,82}}^{\circ }$), porque entra en un medio más denso.

Para hallar el ángulo entre el rayo reflejado (que vuelve al aire) y el rayo refractado (que penetra en el material), observamos que ambos parten del mismo punto de la superficie, pero hacia lados opuestos de ella. El reflejado forma ${\theta }_{ref}={30}^{\circ }$ con la normal por encima de la superficie, y el refractado forma ${\theta }_{trans}={\mathrm{18,82}}^{\circ }$ con la prolongación de esa misma normal por debajo. La normal completa abarca ${180}^{\circ }$, de modo que el ángulo buscado es:

$\theta ={180}^{\circ }-({\theta }_{ref}+{\theta }_{trans})={180}^{\circ }-({30}^{\circ }+{\mathrm{18,82}}^{\circ })={\mathrm{131,18}}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle \theta ={\mathrm{131,18}}^{\circ }}}$

$\text{¿Reflexi}\acute{\text{o}}\text{n total?}$ La reflexión total interna solo puede producirse cuando la luz intenta pasar de un medio más denso (mayor $n$) a otro menos denso (menor $n$), es decir, cuando $n_1>n_2$. En ese caso existe un ángulo crítico ${\theta }_c$ a partir del cual no hay rayo refractado. Aquí la luz va del aire al material, esto es, del medio menos denso al más denso ($n_{aire}=1<n=\mathrm{1,55}$). Si planteamos la condición de ángulo crítico (${\theta }_{trans}={90}^{\circ }$) en la ley de Snell:

$n_{aire}\mathrm{sen}{\theta }_c=n\mathrm{sen}{90}^{\circ }⟹\mathrm{sen}{\theta }_c={\displaystyle \frac{n}{n_{aire}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,55}}{1}}=\mathrm{1,55}$

Obtenemos $\mathrm{sen}{\theta }_c=\mathrm{1,55}>1$, lo cual es imposible, porque el seno de un ángulo nunca puede superar la unidad. No existe, por tanto, ningún ángulo crítico ni, en consecuencia, reflexión total.

$\boxed{{\displaystyle \text{No existe reflexi}\acute{\text{o}}\text{n total: la luz pasa del aire (menos denso) al material (m}\acute{\text{a}}\text{s denso).}}}$

$\text{Interpretaci}\acute{\text{o}}\text{n de la figura: }$ en el diagrama se aprecia cómo el rayo incidente y el reflejado, ambos a ${30}^{\circ }$ de la normal, forman entre sí los ${60}^{\circ }$ del enunciado, mientras que el rayo refractado penetra en el material acercándose a la normal con ${\mathrm{18,82}}^{\circ }$.