Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2021

A.4 (2 puntos). Un objeto vertical de $2\mathrm{m}\mathrm{m}$ de altura se encuentra situado $15\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de una lente convergente de $40$ dioptrías. Calcule:

a) La posición y tamaño de la imagen que forma la lente.

b) La posición de una segunda lente convergente de $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ de distancia focal, situada a la derecha de la primera lente, para que el sistema óptico genere una imagen en el infinito.

$\mathbf{\text{A.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{de}}2\mathrm{m}\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{situado}}15\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}40\mathbf{\text{dioptr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{Calcule:}}$

Trabajaremos con el convenio de signos habitual para lentes delgadas (DIN): el sentido positivo de las distancias coincide con el de propagación de la luz (de izquierda a derecha) y el origen se sitúa en el centro óptico de cada lente. Las distancias medidas hacia la izquierda del origen (donde está el objeto) son negativas, y las medidas hacia la derecha son positivas. La ecuación fundamental de la lente delgada es:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

y el aumento lateral viene dado por:

$M_L={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La potencia de la lente es el inverso de su distancia focal imagen, $P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$, donde $P$ se mide en dioptrías (${\mathrm{m}}^{-1}$) y $f^{\mathrm{\prime }}$ en metros. Por tanto, la distancia focal imagen es:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{40{\mathrm{m}}^{-1}}}=\mathrm{0,025}\mathrm{m}=\mathrm{2,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$

El objeto está $15\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente, de modo que, según el convenio de signos, $s=-15\mathrm{c}\mathrm{m}$. Aplicamos la ecuación de la lente delgada para hallar la posición de la imagen:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,5}\mathrm{c}\mathrm{m}}}+{\displaystyle \frac{1}{-15\mathrm{c}\mathrm{m}}}=\mathrm{0,4}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}-\mathrm{0,0}\bar{6}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}=\mathrm{0,3}\bar{3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$

Despejando:

$s^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,3}\bar{3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}}}=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

Como $s^{\mathrm{\prime }}>0$, la imagen se forma a la derecha de la lente, a $3\mathrm{c}\mathrm{m}$ de su centro óptico; al estar en el lado opuesto al objeto y recibir efectivamente los rayos refractados, es una imagen real.

$\boxed{{\displaystyle s^{\mathrm{\prime }}=+3\mathrm{c}\mathrm{m}\text{ (imagen real, a la derecha de la lente)}}}$

Para el tamaño, calculamos primero el aumento lateral:

$M_L={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{3\mathrm{c}\mathrm{m}}{-15\mathrm{c}\mathrm{m}}}=-\mathrm{0,2}$

El signo negativo indica que la imagen está invertida respecto del objeto, y su valor absoluto menor que la unidad nos dice que es de menor tamaño. El tamaño de la imagen es:

$y^{\mathrm{\prime }}=M_L\cdot y=(-\mathrm{0,2})\cdot 2\mathrm{m}\mathrm{m}=-\mathrm{0,4}\mathrm{m}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,4}\mathrm{m}\mathrm{m}\text{ (invertida, de }\mathrm{0,4}\mathrm{m}\mathrm{m}\text{ de altura)}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}6\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal,}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{lente,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptico}}\mathbf{\text{genere}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La imagen real que forma la primera lente actúa como objeto para la segunda lente. Recordemos una propiedad básica de las lentes: cuando un objeto se sitúa exactamente en el foco objeto de una lente convergente, los rayos emergen paralelos al eje y la imagen se forma en el infinito.

Por tanto, para que el sistema óptico produzca una imagen final en el infinito, la imagen intermedia (la que da la primera lente) debe situarse justo en el foco objeto de la segunda lente, es decir, a una distancia $f_2^{\mathrm{\prime }}=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ por delante (a la izquierda) del centro óptico de la segunda lente.

La imagen intermedia se encuentra a $s_1^{\mathrm{\prime }}=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la derecha de la primera lente. La segunda lente debe colocarse $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ más allá de esa imagen. La distancia $d$ entre los centros ópticos de ambas lentes es, pues, la suma de las dos distancias:

$d=s_1^{\mathrm{\prime }}+f_2^{\mathrm{\prime }}=3\mathrm{c}\mathrm{m}+6\mathrm{c}\mathrm{m}=9\mathrm{c}\mathrm{m}$

Podemos comprobarlo formalmente: el objeto para la segunda lente está en $s_2=s_1^{\mathrm{\prime }}-d=3-9=-6\mathrm{c}\mathrm{m}$, esto es, en su foco objeto ($s_2=-f_2^{\mathrm{\prime }}$). Aplicando la ecuación de la lente:

${\displaystyle \frac{1}{s_2^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f_2^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s_2}}={\displaystyle \frac{1}{6\mathrm{c}\mathrm{m}}}+{\displaystyle \frac{1}{-6\mathrm{c}\mathrm{m}}}=0$

lo que implica $s_2^{\mathrm{\prime }}\to \mathrm{\infty }$, confirmando que la imagen final se forma en el infinito.

$\boxed{{\displaystyle d=9\mathrm{c}\mathrm{m}\text{ a la derecha de la primera lente}}}$