Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

A.1 (2 puntos). Una masa puntual de $50\mathrm{g}$ se encuentra situada en la posición $(8,0)\mathrm{m}$ del plano $xy$. Calcule:

a) El potencial gravitatorio y el campo gravitatorio en el punto $(0,6)\mathrm{m}$ del plano debido a dicha masa.

b) El trabajo realizado por el campo al trasladar un objeto puntual de $20\mathrm{g}$ desde el punto $(0,6)\mathrm{m}$ hasta el origen de coordenadas.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{A.1}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{de}}50\mathrm{g}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}(8,0)\mathrm{m}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}xy\mathbf{\text{.}}$

Antes de empezar conviene situar los datos en el SI y fijar la geometría. La masa que crea el campo es $M=50\mathrm{g}=\mathrm{0,050}\mathrm{k}\mathrm{g}$, situada en el punto $A=(8,0)\mathrm{m}$. El punto de estudio es $P=(0,6)\mathrm{m}$.

Calculamos primero la distancia entre la masa y el punto $P$, ya que tanto el potencial como el campo dependen de ella:

$d=\sqrt{(x_P-x_A{)}^2+(y_P-y_A{)}^2}=\sqrt{(0-8{)}^2+(6-0{)}^2}\mathrm{m}=\sqrt{64+36}\mathrm{m}=10\mathrm{m}$

El vector que va de la masa $A$ al punto $P$ es ${\vec{r}}_{AP}=(0-8,6-0)\mathrm{m}=(-8,6)\mathrm{m}$, y forma con el eje $x$ un ángulo $\theta$ tal que

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{6}{8}}\Rightarrow \theta ={\mathrm{36,87}}^{\circ },\cos \theta ={\displaystyle \frac{8}{10}}=\mathrm{0,8},\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{6}{10}}=\mathrm{0,6}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}(0,6)\mathrm{m}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{masa.}}$

El potencial gravitatorio creado por una masa puntual es una magnitud escalar que solo depende de la distancia:

$V=-{\displaystyle \frac{GM}{d}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$V=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{0,050}\mathrm{k}\mathrm{g}}{10\mathrm{m}}}=-\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-13}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

$\boxed{{\displaystyle V=-\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-13}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}}}$

El signo negativo es característico del potencial gravitatorio, que es siempre negativo y se anula en el infinito.

El campo gravitatorio es una magnitud vectorial dirigida desde el punto hacia la masa que lo crea (es atractivo). Su módulo vale:

$\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{GM}{d^2}}$

Sustituyendo:

$\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{0,050}\mathrm{k}\mathrm{g}}{(10\mathrm{m}{)}^2}}=\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-14}\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

Para escribir el campo en componentes tenemos en cuenta que apunta desde $P$ hacia la masa $A$, es decir, en el sentido del vector unitario ${\widehat{u}}_{PA}={\displaystyle \frac{(8,-6)}{10}}=(\mathrm{0,8},-\mathrm{0,6})$. Por tanto:

$\vec{g}=\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }(\cos \theta \vec{i}-\mathrm{sen}\theta \vec{j})=\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-14}(\mathrm{0,8}\vec{i}-\mathrm{0,6}\vec{j})\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

$\boxed{{\displaystyle \vec{g}=(\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-14}\vec{i}-\mathrm{2,00}\cdot {10}^{-14}\vec{j})\mathrm{N}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}}}$

La componente $x$ es positiva y la $y$ negativa, coherente con que el campo apunta hacia abajo y hacia la derecha, en dirección a la masa situada en $(8,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{trasladar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{de}}20\mathrm{g}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}(0,6)\mathrm{m}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}$

El campo gravitatorio es conservativo, por lo que el trabajo que realiza al desplazar una masa $m$ entre dos puntos es igual a la disminución de su energía potencial, o equivalentemente:

$W_{\text{campo}}=-\mathrm{\Delta }{E}_p=-m(V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}})=m(V_P-V_O)$

donde $m=20\mathrm{g}=\mathrm{0,020}\mathrm{k}\mathrm{g}$, $V_P$ es el potencial en $(0,6)\mathrm{m}$ y $V_O$ el potencial en el origen.

Necesitamos el potencial en el origen $O=(0,0)$, cuya distancia a la masa es $d^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{8^2+0^2}\mathrm{m}=8\mathrm{m}$:

$V_O=-{\displaystyle \frac{GM}{d^{\mathrm{\prime }}}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{0,050}\mathrm{k}\mathrm{g}}{8\mathrm{m}}}=-\mathrm{4,17}\cdot {10}^{-13}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

El potencial en $P$ ya lo calculamos en el apartado a): $V_P=-\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-13}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Sustituyendo en la expresión del trabajo:

$W_{\text{campo}}=-m(V_O-V_P)=-\mathrm{0,020}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (-\mathrm{4,17}\cdot {10}^{-13}-(-\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-13}))\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}$

$W_{\text{campo}}=-\mathrm{0,020}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (-\mathrm{0,834}\cdot {10}^{-13})\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{k}\mathrm{g}=+\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-15}\mathrm{J}$

$\boxed{{\displaystyle W_{\text{campo}}=+\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-15}\mathrm{J}}}$

El trabajo del campo es positivo porque la masa se acerca a $M$ (pasa de $d=10\mathrm{m}$ a $d^{\mathrm{\prime }}=8\mathrm{m}$), moviéndose en el mismo sentido en que actúa la fuerza atractiva. Como consecuencia, la energía potencial del objeto disminuye, tal y como indica que $W_{\text{campo}}>0$.