Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A.3 [hasta 2,5 puntos]
Asier tiene una urna con 4 bolas verdes y dos rojas. Lanza una moneda y si sale cara extrae una bola de la urna, y si sale cruz extrae dos bolas, sin reemplazamiento, de la urna.

a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que Asier haya extraído dos bolas rojas?
b) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que no haya extraído ninguna bola roja.
c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que al menos haya sacado una bola verde.
d) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que haya salido cara sabiendo que al menos una bola es verde.

El experimento tiene dos etapas: primero el lanzamiento de la moneda y después la extracción, que es de una bola si sale cara y de dos sin reemplazamiento si sale cruz. La urna tiene $4$ bolas verdes y $2$ rojas, seis en total.

$P(\text{cara})=P(\text{cruz})={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Con cara solo se extrae una bola:

$P(V\mid \text{cara})={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}},P(R\mid \text{cara})={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Con cruz se extraen dos bolas de golpe, de manera que las probabilidades se cuentan con combinaciones sobre las $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)=15$ parejas posibles.

$P(2R\mid \text{cruz})={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}}={\displaystyle \frac{1}{15}},P(2V\mid \text{cruz})={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}}={\displaystyle \frac{6}{15}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Asier}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{rojas?}}$

Sacar dos bolas solo es posible cuando ha salido cruz, así que únicamente contribuye esa rama del árbol.

$P(2R)=P(\text{cruz})\cdot P(2R\mid \text{cruz})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{15}}={\displaystyle \frac{1}{30}}$

La probabilidad de que Asier haya extraído dos bolas rojas es $\frac{1}{30}\approx \mathrm{0,0333}$, es decir, un $\mathrm{3,33}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{ninguna}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{roja.}}$

No sacar ninguna roja significa sacar una verde si salió cara, o dos verdes si salió cruz. Se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(\text{ninguna roja})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}$

$={\displaystyle \frac{5+3}{15}}={\displaystyle \frac{8}{15}}$

La probabilidad de que no haya extraído ninguna bola roja es $\frac{8}{15}\approx \mathrm{0,5333}$, es decir, un $\mathrm{53,33}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sacado}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{verde.}}$

Lo más cómodo es pasar al suceso contrario: que no haya sacado ninguna verde equivale a que todas las bolas extraídas sean rojas.

$P(\text{ninguna verde})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{15}}={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{30}}={\displaystyle \frac{5+1}{30}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$

$P(\text{al menos una verde})=1-P(\text{ninguna verde})=1-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

La probabilidad de que al menos haya sacado una bola verde es $\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}$, es decir, un $80\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{salido}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{verde.}}$

Se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, así que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(\text{cara}\cap \text{al menos una verde})=P(\text{cara})\cdot P(V\mid \text{cara})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(\text{cara}\mid \text{al menos una verde})={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{5}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$

Sabiendo que al menos una bola es verde, la probabilidad de que haya salido cara es $\frac{5}{12}\approx \mathrm{0,4167}$, es decir, un $\mathrm{41,67}\mathrm{\%}$.