Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2
APARTADO 4.1 [2,5 puntos]
Sobre una mesa tengo tres cajas con botones: la primera caja tiene 3 botones, la segunda 5 botones y la tercera 4 botones. Cada una de las cajas contiene sólo un botón rojo.
Si elijo una caja al azar y extraigo de ella un botón al azar:

a) [0,9 puntos] Calcula la probabilidad de que sea un botón rojo.
b) [0,9 puntos] Si he sacado un botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraído de la primera caja?
c) [0,7 puntos] Juntamos los botones de las tres cajas en una bolsa de la que extraemos con reemplazamiento cuatro botones al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tres sean rojos?

El experimento tiene dos etapas: primero se elige la caja y después se extrae un botón de la caja elegida. Se llama $C_1$, $C_2$ y $C_3$ a los sucesos de elegir cada caja, y $R$ al de sacar un botón rojo.

$P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Como cada caja tiene un único botón rojo, la probabilidad condicionada de sacarlo es la inversa del número de botones de esa caja.

$P(R\mid C_1)={\displaystyle \frac{1}{3}},P(R\mid C_2)={\displaystyle \frac{1}{5}},P(R\mid C_3)={\displaystyle \frac{1}{4}}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{bot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{rojo.}}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total sobre las tres cajas, sumando las tres ramas del árbol que terminan en un botón rojo.

$P(R)=P(C_1)P(R\mid C_1)+P(C_2)P(R\mid C_2)+P(C_3)P(R\mid C_3)$

$P(R)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})$

$={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{20+12+15}{60}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{47}{60}}={\displaystyle \frac{47}{180}}\approx \mathrm{0,2611}$

La probabilidad de que el botón extraído sea rojo es $\frac{47}{180}\approx \mathrm{0,2611}$, es decir, un $\mathrm{26,11}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{he}}\mathbf{\text{sacado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{bot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{rojo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{caja?}}$

Ahora se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, así que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(C_1\mid R)={\displaystyle \frac{P(C_1)\cdot P(R\mid C_1)}{P(R)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}}{\frac{47}{180}}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{9}}{\frac{47}{180}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{180}{47}}={\displaystyle \frac{20}{47}}\approx \mathrm{0,4255}$

Sabiendo que el botón extraído es rojo, la probabilidad de que proceda de la primera caja es $\frac{20}{47}\approx \mathrm{0,4255}$, es decir, un $\mathrm{42,55}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Juntamos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{botones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bolsa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{extraemos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{reemplazamiento}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{botones}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{rojos?}}$

Al juntar los botones en una única bolsa cambia el experimento: ahora hay un solo conjunto de botones y la probabilidad de sacar uno rojo es la misma en cada extracción.

$\text{Botones en total}=3+5+4=12,\text{botones rojos}=3$

$p={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Al extraer con reemplazamiento, las cuatro extracciones son independientes y todas tienen la misma probabilidad de éxito, de modo que el número de botones rojos sigue una distribución binomial.

$X\sim B\text{\hspace{0.17em}⁣}(4;{\displaystyle \frac{1}{4}})$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{3}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^1=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{64}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{12}{256}}={\displaystyle \frac{3}{64}}$

La probabilidad de que tres de los cuatro botones extraídos sean rojos es $\frac{3}{64}\approx \mathrm{0,0469}$, es decir, un $\mathrm{4,69}\mathrm{\%}$.