Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

"Yo plancho por ti" es una empresa que se dedica al planchado de ropa a domicilio. La empresa ha estimado que, para empezar a obtener beneficios, necesita planchar más de 200 kilos de ropa al mes. Se sabe que sus costes fijos ascienden a 2.400 euros al mes y que cada kilo de ropa planchada supone un coste variable de 8 euros.

Se pide:

a) Si en el mes de diciembre planchara 300 kilos de ropa ¿a cuánto ascenderían los ingresos totales de la empresa en dicho mes? ¿Y el beneficio? (1 punto).

b) Si en enero de 2024 se incrementa el precio del kilo de ropa planchada en un 20% y los costes (fijos y variables) en un 10% ¿cuántos kilos de ropa tendría que planchar para empezar a generar beneficio? Y si planchara 300 kilos en el mes de enero de 2024 ¿cuál sería el beneficio? (1 punto).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{diciembre}}\mathbf{\text{planchara}}\mathbf{\text{300}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ropa}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{totales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{mes?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El enunciado no da el precio, pero sí el umbral de rentabilidad: la empresa necesita planchar más de 200 kilos al mes para empezar a obtener beneficios, de modo que su punto muerto está en 200 kilos. De la expresión del umbral se despeja el precio:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C{v}_u}}$

$200={\displaystyle \frac{2.400}{p-8}}$

$p-8={\displaystyle \frac{2.400}{200}}=12$

$p=12+8=20$

El precio del kilo de ropa planchada es de 20 euros.

Con ese precio, los ingresos totales de diciembre por 300 kilos son:

$IT=20\cdot 300=6.000$

Y el beneficio, la diferencia entre esos ingresos y los costes totales:

$B=IT-CF-C{v}_u\cdot Q=6.000-2.400-8\cdot 300=6.000-4.800=1.200$

Los ingresos totales de diciembre ascenderían a 6.000 euros y el beneficio a 1.200 euros.

El resultado es coherente con el umbral: los 300 kilos superan en 100 kilos el punto muerto, y cada uno de esos 100 kilos deja un margen de 12 euros, que son exactamente los 1.200 euros de beneficio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{enero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2024}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incrementa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{kilo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ropa}}\mathbf{\text{planchada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{20\%}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{(fijos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{variables)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{10\%}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ropa}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{planchar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{empezar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{generar}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{Y}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{planchara}}\mathbf{\text{300}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{enero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2024}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Primero se actualizan las tres magnitudes. El precio sube un 20 %:

$p^{\mathrm{\prime }}=20\cdot \mathrm{1,20}=24$

El coste fijo sube un 10 %:

$C{F}^{\mathrm{\prime }}=2.400\cdot \mathrm{1,10}=2.640$

Y el coste variable unitario también un 10 %:

$C{v}_u^{\mathrm{\prime }}=8\cdot \mathrm{1,10}=\mathrm{8,80}$

El nuevo umbral de rentabilidad es:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{2.640}{24-\mathrm{8,80}}}={\displaystyle \frac{2.640}{\mathrm{15,20}}}=\mathrm{173,68}$

Tendría que planchar 173,68 kilos de ropa, es decir, más de 174 kilos, para empezar a generar beneficio. El umbral baja respecto a los 200 kilos anteriores porque el precio sube el doble que los costes, con lo que el margen unitario pasa de 12 a 15,20 euros y basta con menos kilos para cubrir el coste fijo.

Con 300 kilos planchados en enero de 2024, el beneficio sería:

$B=300\cdot (24-\mathrm{8,80})-2.640=300\cdot \mathrm{15,20}-2.640=4.560-2.640=1.920$

El beneficio de enero de 2024 con 300 kilos ascendería a 1.920 euros, es decir, 720 euros más que en diciembre con el mismo volumen de trabajo, gracias a que la subida del precio compensa con creces la de los costes.