Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una empresa está estudiando la viabilidad de la inversión en un equipo cuyo coste fijo es de 135.000 euros. Si el precio de venta del producto fabricado con dicho equipo es de 10 euros y la demanda estimada es de 40.000 unidades. [2,5 puntos]

a) ¿Qué coste variable ha de tener el producto para alcanzar el punto muerto con 25.000 unidades de fabricación? ¿Qué resultado obtendría la empresa si su nivel de producción y venta supera en un 25 % el punto muerto anteriormente señalado? [1,25 puntos]

b) Si la empresa decide elevar el precio de venta del producto hasta los 12,6 euros, con lo que la nueva demanda estimada pasaría a reducirse un 30 % respecto a la situación inicial, ¿cómo afectaría este cambio al umbral de rentabilidad y los resultados esperados de la empresa? Compare con la situación inicial y exprese en términos porcentuales las variaciones que puedan observarse. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{25.000}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{supera}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{anteriormente}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{alado?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El punto muerto es el número de unidades que iguala los ingresos totales con los costes totales. Su expresión permite despejar cualquiera de las variables que intervienen, y aquí la incógnita es el coste variable unitario:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-CVu}}\Rightarrow P-CVu={\displaystyle \frac{CF}{Q^{\ast }}}$

$10-CVu={\displaystyle \frac{135.000}{25.000}}=\mathrm{5,40}$

$CVu=10-\mathrm{5,40}=\mathrm{4,60}$ €/unidad

El coste variable unitario ha de ser de 4,60 €, con lo que cada unidad deja un margen de 5,40 € para cubrir los costes fijos.

Si la producción y venta supera en un 25 % el punto muerto, el volumen es:

$Q=25.000\cdot \mathrm{1,25}=31.250$ unidades

Por encima del punto muerto los costes fijos ya están cubiertos, de modo que cada unidad adicional aporta su margen íntegro al beneficio:

$B=(Q-Q^{\ast })\cdot (P-CVu)=(31.250-25.000)\cdot \mathrm{5,40}$

$B=6.250\cdot \mathrm{5,40}=33.750$ €

La empresa obtendría un beneficio de 33.750 €. Conviene observar el efecto palanca de los costes fijos: un 25 % más de ventas sobre el umbral no produce un 25 % más de beneficio, sino que lo hace pasar de cero a 33.750 €.


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{elevar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{12,6}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{estimada}}\mathbf{\text{pasar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{reducirse}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial,}}\mathbf{\text{¿c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{afectar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{cambio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{esperados}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa?}}\mathbf{\text{Compare}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{exprese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{porcentuales}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{variaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puedan}}\mathbf{\text{observarse.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La comparación se hace sobre la demanda estimada, que es la referencia de los resultados esperados: 40.000 unidades en la situación inicial y un 30 % menos en la nueva.

$Q^{\mathrm{\prime }}=40.000\cdot \mathrm{0,70}=28.000$ unidades

El coste fijo y el coste variable unitario no cambian; solo sube el precio, y con él el margen unitario, que pasa de 5,40 a 8 €:

$Q^{\ast }{}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{135.000}{\mathrm{12,60}-\mathrm{4,60}}}={\displaystyle \frac{135.000}{8}}=16.875$ unidades

${\displaystyle \frac{16.875-25.000}{25.000}}=-\mathrm{0,325}=-\mathrm{32,5}\mathrm{\%}$

El umbral de rentabilidad cae un 32,5 %: hacen falta 8.125 unidades menos para empezar a ganar dinero, porque cada unidad contribuye ahora con 2,60 € más.

Los resultados esperados en cada escenario, calculados sobre la demanda estimada, son:

$B=(40.000-25.000)\cdot \mathrm{5,40}=81.000$ €

$B^{\mathrm{\prime }}=(28.000-16.875)\cdot 8=89.000$ €

${\displaystyle \frac{89.000-81.000}{81.000}}=\mathrm{0,0988}=\mathrm{9,88}\mathrm{\%}$

El beneficio esperado crece un 9,88 %, de 81.000 a 89.000 €. La decisión es, por tanto, acertada: aunque la empresa pierde el 30 % de sus ventas, el encarecimiento del 26 % en el precio ensancha tanto el margen unitario que compensa con creces la caída del volumen, y además reduce el riesgo, porque el punto muerto se aleja mucho más de la demanda prevista. El margen de seguridad pasa del 37,5 % al 39,7 % de las ventas estimadas.