Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una empresa está estudiando la viabilidad de la inversión en un equipo cuyo coste fijo es de 120.000 euros. Si el precio de venta del producto fabricado con dicho equipo es de 12 euros y la demanda estimada es de 50.000 unidades, se pide responder obligatoriamente a las siguientes tareas: [3 puntos]

a) ¿Qué coste variable unitario ha de tener el producto para alcanzar el punto muerto con 25.000 unidades de fabricación? ¿Qué resultado obtendría la empresa en ese caso si su nivel de producción y venta alcanza la demanda estimada? Comente la solución obtenida. [1,5 puntos]

b) Si la empresa decide elevar el precio de venta del producto hasta los 14 euros, con lo que la demanda estimada pasaría a reducirse un 40% respecto a la situación inicial ¿qué variación debería producirse en los costes fijos para que se mantuviese el beneficio alcanzado con la anterior estimación de demanda? ¿Cómo afectarían estos cambios al umbral de rentabilidad de la empresa? Exprese en términos porcentuales las variaciones que puedan observarse. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{25.000}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{estimada?}}\mathbf{\text{Comente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenida.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El punto muerto es el número de unidades que iguala los ingresos totales con los costes totales. Su expresión permite despejar el coste variable unitario, que aquí es la incógnita:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-CVu}}\Rightarrow P-CVu={\displaystyle \frac{CF}{Q^{\ast }}}$

$12-CVu={\displaystyle \frac{120.000}{25.000}}=\mathrm{4,80}$

$CVu=12-\mathrm{4,80}=\mathrm{7,20}$ €/unidad

El coste variable unitario ha de ser de 7,20 €, con lo que cada unidad deja un margen de 4,80 € para cubrir los costes fijos.

Si la producción y venta alcanza la demanda estimada de 50.000 unidades, los costes fijos ya están cubiertos al llegar al punto muerto, de modo que cada unidad adicional aporta al beneficio su margen íntegro:

$B=(Q-Q^{\ast })\cdot (P-CVu)=(50.000-25.000)\cdot \mathrm{4,80}$

$B=25.000\cdot \mathrm{4,80}=120.000$ €

La empresa obtendría un beneficio de 120.000 €. El comentario que cabe hacer es doble. Por un lado, la inversión resulta claramente rentable: la demanda estimada duplica el punto muerto, con un margen de seguridad del 50 % de las ventas, de manera que la empresa podría perder la mitad de su mercado y seguiría sin incurrir en pérdidas. Por otro, el beneficio coincide exactamente con el coste fijo del equipo, 120.000 €, porque las unidades que superan el umbral son tantas como las necesarias para alcanzarlo; es una coincidencia aritmética, pero ilustra bien el efecto palanca de los costes fijos: una vez cubiertos, todo el margen se convierte en beneficio.


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{elevar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{14}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{estimada}}\mathbf{\text{pasar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{reducirse}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{40\%}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{producirse}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{fijos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantuviese}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{alcanzado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{demanda?}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{afectar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{cambios}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa?}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{porcentuales}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{variaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puedan}}\mathbf{\text{observarse.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La nueva demanda estimada, un 40 % inferior a las 50.000 unidades de partida, es:

$Q^{\mathrm{\prime }}=50.000\cdot \mathrm{0,60}=30.000$ unidades

Se impone que el beneficio siga siendo de 120.000 € con el precio de 14 € y el coste variable unitario de 7,20 €, y se despeja el coste fijo:

$B=(P^{\mathrm{\prime }}-CVu)\cdot Q^{\mathrm{\prime }}-C{F}^{\mathrm{\prime }}$

$120.000=(14-\mathrm{7,20})\cdot 30.000-C{F}^{\mathrm{\prime }}=204.000-C{F}^{\mathrm{\prime }}$

$C{F}^{\mathrm{\prime }}=204.000-120.000=84.000$ €

${\displaystyle \frac{84.000-120.000}{120.000}}=-\mathrm{0,30}=-30\mathrm{\%}$

Los costes fijos deberían reducirse en 36.000 €, es decir, un 30 %.

El nuevo umbral de rentabilidad, con ese coste fijo y el margen unitario de 6,80 €, sería:

$Q^{\ast }{}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{84.000}{14-\mathrm{7,20}}}={\displaystyle \frac{84.000}{\mathrm{6,80}}}=\mathrm{12.352,94}$ unidades

Como no pueden venderse fracciones de producto, el umbral se sitúa en 12.353 unidades.

${\displaystyle \frac{\mathrm{12.352,94}-25.000}{25.000}}=-\mathrm{0,5059}=-\mathrm{50,59}\mathrm{\%}$

El umbral de rentabilidad cae más de la mitad, un 50,59 %, por dos motivos que actúan en la misma dirección: el margen unitario se ensancha de 4,80 a 6,80 € gracias a la subida del precio, y los costes fijos que hay que cubrir son un 30 % menores. La lectura es que la empresa mantendría el mismo beneficio con una demanda mucho más reducida y, además, con un riesgo menor, ya que el margen de seguridad pasaría del 50 % al 58,8 % de las ventas estimadas. El problema es que reducir los costes fijos un 30 % supone renunciar a capacidad productiva, una decisión difícil de revertir si la demanda se recuperase.