Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una empresa está valorando la viabilidad de una inversión en un equipo cuyo coste fijo es de 90.000 euros. Si el coste variable unitario de fabricación es de 9 euros y la demanda que tenemos estimada es de 80.000 unidades. Se pide responder obligatoriamente a las siguientes tareas: [3 puntos]

a) ¿Qué precio mínimo ha de tener el producto para que la inversión genere beneficios por encima de 40.000 unidades de fabricación y venta? ¿Cuál sería el resultado de la empresa si se alcanza la demanda estimada? Comente la solución obtenida. [1,5 puntos]

b) ¿Cuál sería el punto muerto de la empresa si el coste fijo se eleva hasta los 120.000 euros y el precio mínimo calculado en la tarea anterior se incrementa en un 10%? Exprese en términos porcentuales las variaciones que puedan observarse. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{genere}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{encima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{40.000}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{venta?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{estimada?}}\mathbf{\text{Comente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenida.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que la inversión genere beneficios por encima de 40.000 unidades significa que el punto muerto ha de situarse exactamente en esa cifra: a partir de ella los ingresos superan a los costes. La expresión del punto muerto permite despejar el precio, que aquí es la incógnita:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-CVu}}\Rightarrow P=CVu+{\displaystyle \frac{CF}{Q^{\ast }}}$

$P=9+{\displaystyle \frac{90.000}{40.000}}=9+\mathrm{2,25}=\mathrm{11,25}$ €/unidad

El precio mínimo es de 11,25 €, con lo que cada unidad deja un margen de 2,25 € para cubrir los costes fijos.

Si se alcanza la demanda estimada de 80.000 unidades, los costes fijos ya están cubiertos al llegar al punto muerto y cada unidad adicional aporta su margen íntegro:

$B=(Q-Q^{\ast })\cdot (P-CVu)=(80.000-40.000)\cdot \mathrm{2,25}$

$B=40.000\cdot \mathrm{2,25}=90.000$ €

La empresa obtendría un beneficio de 90.000 €. El comentario que merece la solución es doble. Por un lado, la inversión resulta claramente rentable: la demanda estimada duplica el punto muerto, con un margen de seguridad del 50 % de las ventas, de modo que la empresa podría perder la mitad de su mercado y seguiría sin incurrir en pérdidas. Por otro, el beneficio coincide exactamente con el coste fijo del equipo, 90.000 €, porque las unidades que superan el umbral son tantas como las necesarias para alcanzarlo; es una coincidencia aritmética, pero ilustra bien el efecto palanca de los costes fijos: una vez cubiertos, todo el margen se convierte en beneficio.

Conviene añadir que 11,25 € es un precio mínimo, no un precio recomendado: al cobrarlo, la empresa solo garantiza que no pierde dinero si vende más de 40.000 unidades. Cualquier precio superior desplazaría el umbral hacia la izquierda y aumentaría tanto el beneficio como el margen de seguridad.


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{fijo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{eleva}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{120.000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{calculado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tarea}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incrementa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{10\%?}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{porcentuales}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{variaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puedan}}\mathbf{\text{observarse.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan primero las dos variables que cambian. El coste variable unitario se mantiene en 9 €.

$P^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{11,25}\cdot \mathrm{1,10}=\mathrm{12,375}$ €/unidad

${\displaystyle \frac{120.000-90.000}{90.000}}=\mathrm{0,3333}=\mathrm{33,33}\mathrm{\%}$

Los costes fijos aumentan 30.000 €, es decir, un 33,33 %, mientras que el precio solo sube un 10 %. Con esos datos, el nuevo punto muerto es:

$Q^{\ast }{}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{C{F}^{\mathrm{\prime }}}{P^{\mathrm{\prime }}-CVu}}={\displaystyle \frac{120.000}{\mathrm{12,375}-9}}={\displaystyle \frac{120.000}{\mathrm{3,375}}}=\mathrm{35.555,56}$ unidades

Como no pueden venderse fracciones de producto, el punto muerto se sitúa en 35.556 unidades.

${\displaystyle \frac{\mathrm{35.555,56}-40.000}{40.000}}=-\mathrm{0,1111}=-\mathrm{11,11}\mathrm{\%}$

El punto muerto desciende en 4.444,44 unidades, un 11,11 %.

El resultado puede parecer paradójico, porque los costes fijos crecen un 33,33 % y sin embargo la empresa necesita vender menos para cubrirlos. La explicación está en el margen unitario, que es lo que de verdad manda: pasa de 2,25 a 3,375 €, es decir, aumenta un 50 %. Una subida del precio del 10 % se traduce en una subida del margen del 50 % porque el margen es una diferencia pequeña entre dos cifras grandes, y ese efecto amplificador supera con holgura al encarecimiento de los costes fijos.

La lectura para la empresa es que su punto muerto es mucho más sensible al precio que a la estructura de costes fijos, precisamente por lo estrecho de su margen. Si además mantuviera la demanda estimada de 80.000 unidades, el beneficio pasaría a ser de $(80.000-\mathrm{35.555,56})\cdot \mathrm{3,375}=150.000$ €, frente a los 90.000 € de la situación anterior.