Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

ALTA SEGURIDAD S.A es una empresa dedicada a la instalación de alarmas en viviendas unifamiliares. Soporta unos costes fijos anuales de 150.000€. El departamento financiero tiene estimado que con un precio por instalación de 350€ alcanza su umbral de rentabilidad con la instalación de 1.000 unidades.

SE PIDE:

Calcular el coste variable partiendo de la situación dada y el número de instalaciones necesarias para alcanzar el umbral de rentabilidad si, manteniendo los costes iguales, se decide aumentar el precio de instalación a 400€. Representar gráficamente las dos situaciones. [2 puntos]

$\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{partiendo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dada}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{instalaciones}}\mathbf{\text{necesarias}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{si,}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{iguales,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{aumentar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{instalaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{400€.}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{situaciones.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En el umbral de rentabilidad el ingreso total iguala al coste total, de modo que el número de unidades es el cociente entre el coste fijo y el margen unitario:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-C{V}_u}}$

El enunciado da el umbral de la situación actual, 1.000 instalaciones con un precio de 350 euros, así que la incógnita es el coste variable unitario. Se sustituye y se despeja:

$1.000={\displaystyle \frac{150.000}{350-C{V}_u}}⟹350-C{V}_u={\displaystyle \frac{150.000}{1.000}}=150$

$C{V}_u=350-150=200$

Cada instalación cuesta 200 euros en materiales y mano de obra directa y deja un margen de 150 euros para cubrir los costes fijos.

Con el precio nuevo de 400 euros y los mismos costes, el margen por instalación sube a $400-200=200$ euros, de manera que hacen falta menos instalaciones para cubrir los 150.000 euros de coste fijo:

$Q_{400}^{\ast }={\displaystyle \frac{150.000}{400-200}}={\displaystyle \frac{150.000}{200}}=750\text{ instalaciones}$

La comprobación cierra: con 750 instalaciones a 400 euros el ingreso es $750\cdot 400=300.000$ euros y el coste total, $150.000+200\cdot 750=300.000$ euros.

El coste variable unitario de ALTA SEGURIDAD S.A es de 200 euros por instalación, y subiendo el precio de 350 a 400 euros el umbral de rentabilidad baja de 1.000 a 750 instalaciones anuales, es decir, 250 menos. En la gráfica se ve por qué: el coste total, $CT=150.000+200Q$, no cambia, mientras que la recta de ingresos gira hacia arriba al pasar de $IT=350Q$ a $IT=400Q$, y su corte con el coste total se desplaza a la izquierda.