Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Si una empresa fabrica y vende 20.000 unidades de producto por encima de su punto muerto y sus beneficios son de 80.000 unidades, con unos costes fijos de 40.000 euros. Se pide responder obligatoriamente a las siguientes tareas: [3 puntos]

a) ¿Cuál es su margen de beneficio unitario? Si el precio de venta unitario es de 15 euros, ¿cuál es su coste variable unitario de fabricación? ¿Cuál es la demanda total del producto? Comente la solución obtenida. [1,5 puntos]

b) Si la empresa decide elevar el precio unitario de venta hasta los 18 euros, con lo que la demanda total del producto pasaría a reducirse un 40% respecto a la situación inicial, y mantiene su estructura de costes fijos y variables ¿Cómo afectarían estos cambios al umbral de rentabilidad, y al resultado, de la empresa? Exprese en términos porcentuales las variaciones que puedan observarse. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{margen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{unitario?}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto?}}\mathbf{\text{Comente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenida.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por encima del punto muerto los costes fijos ya están cubiertos, de modo que cada unidad vendida aporta al beneficio su margen íntegro. El beneficio total es entonces el producto de las unidades que superan el umbral por el margen unitario. El enunciado expresa el beneficio en «unidades», pero el único valor coherente con el resto de los datos es 80.000 unidades monetarias, es decir, 80.000 €, y así se resuelve.

$B=(Q-Q^{\ast })\cdot m$

$80.000=20.000\cdot m\Rightarrow m={\displaystyle \frac{80.000}{20.000}}=4$ €/unidad

El margen de beneficio unitario es de 4 €. Como el margen es la diferencia entre el precio y el coste variable unitario, se despeja este último:

$m=P-CVu\Rightarrow CVu=15-4=11$ €/unidad

La demanda total se obtiene de la ecuación del beneficio, con el coste fijo de 40.000 €:

$B=P\cdot Q-CF-CVu\cdot Q$

$80.000=15Q-40.000-11Q\Rightarrow 4Q=120.000\Rightarrow Q=30.000$ unidades

La demanda total del producto es de 30.000 unidades. La comprobación confirma la coherencia de todo el planteamiento: el punto muerto es

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{m}}={\displaystyle \frac{40.000}{4}}=10.000$ unidades

y en efecto la empresa vende 20.000 unidades por encima de él, tal como afirma el enunciado.

El comentario que merece la solución es que la empresa se encuentra en una posición muy holgada: vende el triple de su punto muerto, con un margen de seguridad del 66,7 % de las ventas, de modo que podría perder dos tercios de su mercado antes de entrar en pérdidas. El margen unitario, de 4 € sobre un precio de 15 €, representa el 26,7 % del precio, un valor razonable para una empresa industrial.


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{elevar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{18}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{pasar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{reducirse}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{40\%}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{mantiene}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{estructura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{fijos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{variables}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{afectar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{cambios}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{resultado,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa?}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{porcentuales}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{variaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puedan}}\mathbf{\text{observarse.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La nueva demanda, un 40 % inferior a las 30.000 unidades de partida, es:

$Q^{\mathrm{\prime }}=30.000\cdot \mathrm{0,60}=18.000$ unidades

El coste fijo y el coste variable unitario no cambian; solo sube el precio, y con él el margen unitario, que pasa de 4 a 7 €:

$Q^{\ast }{}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{40.000}{18-11}}={\displaystyle \frac{40.000}{7}}=\mathrm{5.714,29}$ unidades

Como no pueden venderse fracciones de producto, el nuevo umbral se sitúa en 5.715 unidades.

${\displaystyle \frac{\mathrm{5.714,29}-10.000}{10.000}}=-\mathrm{0,4286}=-\mathrm{42,86}\mathrm{\%}$

El umbral de rentabilidad cae un 42,86 %, es decir, 4.285,71 unidades menos, porque cada unidad contribuye ahora con 3 € más a cubrir unos costes fijos que siguen siendo los mismos.

El nuevo resultado, con la demanda de 18.000 unidades:

$B^{\mathrm{\prime }}=18\cdot 18.000-40.000-11\cdot 18.000=324.000-40.000-198.000=86.000$ €

${\displaystyle \frac{86.000-80.000}{80.000}}=\mathrm{0,075}=\mathrm{7,5}\mathrm{\%}$

El beneficio crece un 7,5 %, de 80.000 a 86.000 €.

La decisión es, por tanto, acertada, y por partida doble. Por un lado gana dinero: aunque pierde el 40 % de sus ventas, la subida del 20 % en el precio ensancha el margen unitario un 75 %, lo que compensa con creces la caída del volumen. Por otro reduce el riesgo: el margen de seguridad pasa del 66,7 % al 68,25 % de las ventas, de modo que la empresa queda incluso algo más protegida frente a una caída adicional de la demanda. El único aviso que cabe hacer es que el cálculo da por buena la estimación de que la demanda solo caerá un 40 %; si la sensibilidad al precio fuera mayor, el resultado podría invertirse.