Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una empresa se plantea fabricar un producto con un coste variable de 1,75 euros por unidad que comercializaría a un precio unitario de 3 euros. El coste fijo asociado al equipo necesario para su fabricación asciende a 20.000 euros. [3 puntos]

Se pide responder obligatoriamente a las siguientes tareas:

a) ¿Cuánto debería producir para empezar a obtener beneficios? ¿Qué resultado obtendría si la demanda estimada se sitúa en 17.000 unidades? Comente la solución obtenida. [1,5 puntos]

b) El aumento de los precios de algunos factores de producción ha ocasionado un incremento del 3% en los costes fijos y del 7% en el coste variable unitario. ¿Qué incremento deberá experimentar el precio de venta unitario para que se mantenga el beneficio, suponiendo constante la demanda estimada señalada en la tarea anterior? Comente el resultado. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{empezar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{beneficios?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{estimada}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{17.000}}\mathbf{\text{unidades?}}\mathbf{\text{Comente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenida.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La empresa empieza a obtener beneficios a partir del punto muerto o umbral de rentabilidad, que es el volumen de producción y venta que iguala los ingresos totales con los costes totales:

$IT=CT\Rightarrow P\cdot Q^{\ast }=CF+CVu\cdot Q^{\ast }\Rightarrow Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-CVu}}$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{20.000}{3-\mathrm{1,75}}}={\displaystyle \frac{20.000}{\mathrm{1,25}}}=16.000$ unidades

La empresa debería producir y vender más de 16.000 unidades para empezar a ganar dinero. Con exactamente 16.000, el margen de 1,25 € que deja cada unidad cubre justo los 20.000 € de coste fijo y el resultado es cero.

Si la demanda estimada se sitúa en 17.000 unidades, los costes fijos ya están cubiertos al llegar al umbral y cada unidad adicional aporta su margen íntegro:

$B=(Q-Q^{\ast })\cdot (P-CVu)=(17.000-16.000)\cdot \mathrm{1,25}$

$B=1.000\cdot \mathrm{1,25}=1.250$ €

El comentario obligado es que el proyecto resulta viable pero extremadamente frágil. El beneficio de 1.250 € es minúsculo frente a unos ingresos de 51.000 € —representa un 2,45 % de la facturación— y el margen de seguridad es de solo 1.000 unidades, un 5,9 % de las ventas previstas. Basta con que la demanda se quede un 6 % por debajo de lo estimado para entrar en pérdidas. La causa es un margen unitario muy estrecho, de 1,25 € sobre un precio de 3 €, combinado con un coste fijo que exige vender 16.000 unidades solo para empezar. Antes de acometer la inversión convendría revisar el precio, negociar el coste variable o buscar un volumen de demanda más holgado.


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{precios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{algunos}}\mathbf{\text{factores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ocasionado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{incremento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{3\%}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{fijos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{7\%}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{unitario.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{incremento}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{experimentar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{estimada}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{alada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tarea}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{Comente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula primero la nueva estructura de costes:

$C{F}^{\mathrm{\prime }}=20.000\cdot \mathrm{1,03}=20.600$ €

$CV{u}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,75}\cdot \mathrm{1,07}=\mathrm{1,8725}$ €/unidad

Se impone que el beneficio siga siendo de 1.250 € con la demanda constante de 17.000 unidades y se despeja el precio:

$B=P^{\mathrm{\prime }}\cdot Q-C{F}^{\mathrm{\prime }}-CV{u}^{\mathrm{\prime }}\cdot Q$

$1.250=P^{\mathrm{\prime }}\cdot 17.000-20.600-\mathrm{1,8725}\cdot 17.000$

$17.000P^{\mathrm{\prime }}=1.250+20.600+\mathrm{31.832,50}=\mathrm{53.682,50}$

$P^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{53.682,50}}{17.000}}=\mathrm{3,1578}$ €/unidad

${\displaystyle \frac{\mathrm{3,1578}-3}{3}}=\mathrm{0,0526}=\mathrm{5,26}\mathrm{\%}$

El precio de venta unitario deberá subir un 5,26 %, desde 3 € hasta 3,16 € por unidad.

El comentario que merece el resultado es que la subida exigida al precio, del 5,26 %, es mayor que la de los costes fijos (3 %) pero menor que la del coste variable unitario (7 %), y ese resultado intermedio no es casual: el precio ha de absorber los dos encarecimientos a la vez, cada uno con el peso que tiene en la estructura de costes de la empresa. Conviene añadir que, con un margen unitario tan estrecho, la empresa apenas tiene alternativa: no puede compensar la subida vendiendo más, porque la demanda está fijada, ni recortando su margen, porque no tiene margen que recortar. El riesgo es que una subida del 5,26 % en el precio reduzca la demanda por debajo de las 17.000 unidades estimadas, en cuyo caso ni siquiera se mantendría el beneficio de partida.