Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una empresa ha tenido este mes los siguientes costes: Coste de materiales, 12 euros/unidad; Coste de energía, 5 euros/unidad; Coste de alquiler, 4.500 euros; Coste de personal fijo, 8.500 euros; Otros costes variables, 2 euros/unidad; Coste de amortización, 1.700 euros. [2,5 puntos]

a) Si la empresa ha vendido 3.000 unidades ese mes, y se ha facturado por ello 65.300 euros, determine e interprete el punto muerto y el resultado obtenido este mes. [1,25 puntos]

b) El próximo mes el coste de alquiler subirá hasta 5.000 euros mensuales ¿Qué variación deberá experimentar el precio de venta unitario para, suponiendo que el coste variable unitario se incrementa un 2 %, el umbral de rentabilidad se sitúe en 3.000 unidades? Exprese en términos porcentuales la variación solicitada. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{3.000}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{facturado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ello}}\mathbf{\text{65.300}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{mes.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Antes de nada hay que separar los costes en fijos y variables. Son variables los que dependen del número de unidades producidas —materiales, energía y otros costes variables— y fijos los que no varían con la producción: el alquiler, el personal fijo y la amortización.

$CVu=12+5+2=19$ €/unidad

$CF=4.500+8.500+1.700=14.700$ €

El precio de venta unitario se obtiene dividiendo la facturación entre las unidades vendidas:

$P={\displaystyle \frac{65.300}{3.000}}=\mathrm{21,77}$ €/unidad

El punto muerto es el volumen que iguala los ingresos totales con los costes totales:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-CVu}}={\displaystyle \frac{14.700}{\mathrm{21,7667}-19}}={\displaystyle \frac{14.700}{\mathrm{2,7667}}}=\mathrm{5.313,25}$ unidades

Como no pueden venderse fracciones de producto, el punto muerto está en 5.314 unidades. El resultado del mes es:

$B=P\cdot Q-CF-CVu\cdot Q=65.300-14.700-19\cdot 3.000$

$B=65.300-14.700-57.000=-6.400$ €

La empresa ha perdido 6.400 € este mes, y la razón la explica el punto muerto: necesitaría vender 5.314 unidades para cubrir sus costes y solo ha vendido 3.000, apenas el 56 % del umbral. Cada unidad deja un margen de apenas 2,77 €, de modo que las 3.000 vendidas aportan 8.300 € para cubrir unos costes fijos de 14.700 €, y los 6.400 € que faltan son exactamente la pérdida. Para equilibrar la explotación la empresa tendría que casi duplicar sus ventas, subir el precio o recortar la estructura de costes fijos.




$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alquiler}}\mathbf{\text{subir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{5.000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{mensuales}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{experimentar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{para,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incrementa}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{3.000}}\mathbf{\text{unidades?}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{porcentuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{solicitada.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calculan primero la nueva estructura de costes fijos, con el alquiler ya subido, y el nuevo coste variable unitario:

$C{F}^{\mathrm{\prime }}=5.000+8.500+1.700=15.200$ €

$CV{u}^{\mathrm{\prime }}=19\cdot \mathrm{1,02}=\mathrm{19,38}$ €/unidad

Se impone ahora que el umbral de rentabilidad se sitúe en 3.000 unidades y se despeja el precio de la expresión del punto muerto:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{C{F}^{\mathrm{\prime }}}{P^{\mathrm{\prime }}-CV{u}^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}=CV{u}^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{C{F}^{\mathrm{\prime }}}{Q^{\ast }}}$

$P^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{19,38}+{\displaystyle \frac{15.200}{3.000}}=\mathrm{19,38}+\mathrm{5,0667}=\mathrm{24,45}$ €/unidad

${\displaystyle \frac{\mathrm{24,4467}-\mathrm{21,7667}}{\mathrm{21,7667}}}=\mathrm{0,1231}=\mathrm{12,31}\mathrm{\%}$

El precio de venta unitario deberá subir un 12,31 %, desde los 21,77 € actuales hasta 24,45 €. El margen unitario pasaría así de 2,77 € a 5,07 €, casi el doble, que es lo que permite cubrir unos costes fijos mayores con muchas menos unidades.

Conviene añadir una advertencia sobre el resultado: situar el umbral en 3.000 unidades significa que la empresa dejaría de perder dinero justo con el volumen que vende hoy, es decir, quedaría en el punto muerto, sin beneficio. Además, una subida de precio superior al 12 % puede reducir la demanda, con lo que las 3.000 unidades dejarían de estar garantizadas. La medida es necesaria pero no suficiente, y debería acompañarse de una revisión de los costes fijos, que son los que están ahogando la cuenta de resultados.