Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Problema 7.

Tenemos dos monedas distintas $M_1$ y $M_2$. La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_1$ es $x$ y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_2$ es $y$.

a) Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3 puntos)
b) Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7 puntos)

$\textbf{a) Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3 puntos)}$

Sean los sucesos:

$C_1 \equiv$ Sale cara en la moneda $M_1$
$C_2 \equiv$ Sale cara en la moneda $M_2$

Se nos dan las probabilidades:

$P(C_1)=x \Rightarrow P(\overline{C_1})=1-x$

$P(C_2)=y \Rightarrow P(\overline{C_2})=1-y$

Planteamos el árbol de probabilidades.


$P(\text{ninguna cara})= P(\overline{C_1}\cap\overline{C_2})= (1-x)(1-y)$

$P(\text{solo una cara})= P(C_1\cap\overline{C_2}) + P(\overline{C_1}\cap C_2)= x(1-y)+(1-x)y= x+y-2xy$

$P(\text{dos caras})= P(C_1\cap C_2)= x\cdot y$

$\textbf{b) Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7 puntos)}$

Rehacemos el árbol tomando como punto de partida la situación anterior y relanzando aquellas monedas en las que no ha salido cara.










No lanzamos ninguna moneda
Lanzamos la moneda $M_2$ porque no había salido cara
Lanzamos la moneda $M_1$ porque no había salido cara
Lanzamos ambas monedas porque no había salido ninguna cara y se vuelve a repetir la situación inicial





$P$ (ninguna cara) = $P(\overline{C_1}\cap\overline{C_2}) \cap (\overline{C_1}\cap\overline{C_2})= (1-x)(1-y)\cdot(1-x)(1-y)= (1-x)^2(1-y)^2$

$P$ (solo una cara) = $P\big((C_1\cap\overline{C_2})\cap(C_1\cap\overline{C_2})\big)+P\big((\overline{C_1}\cap C_2)\cap(\overline{C_1}\cap C_2)\big)+P\big((C_1\cap\overline{C_2})\cap(\overline{C_1}\cap\overline{C_2})\big)+ P\big((\overline{C_1}\cap C_2)\cap(\overline{C_1}\cap\overline{C_2})\big)$

$= x(1-y)^2 + y(1-x)^2 + x(1-x)(1-y)^2 + y(1-y)(1-x)^2$

$P$ (Dos caras) $= P(C_1\cap C_2)+ P\big((C_1\cap \overline{C_2})\cap C_2\big)+ P\big((\overline{C_1}\cap C_2)\cap C_1\big)+ P\big((\overline{C_1}\cap \overline{C_2})\cap (C_1\cap C_2)\big)$

$= x\cdot y + xy(1-y) + xy(1-x) + xy(1-x)(1-y)$

$= x\cdot y [1 + 1 - y + 1 - x + (1-x)(1-y)]$

$= x\cdot y [3 - x - y + 1 - y - x + xy]$

$= x\cdot y(4 - 2x - 2y + xy)= 4xy - 2x^2y - 2xy^2 + x^2y^2$