Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Cuestión 7.

El 60 % de los habitantes de una población consume pan integral, el 40 % consume pan blanco y el 20 % consume ambos tipos de pan.

a) [0,5] ¿Son independientes los sucesos "consumir pan integral" y "consumir pan blanco"?
b) [0,5] Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?
c) [0,75] Calcule el porcentaje de la población que no consume ninguno de los dos tipos de pan.
d) [0,75] Sabiendo que un habitante no consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?

Llamamos $I$ al suceso "consumir pan integral" y $B$ a "consumir pan blanco". Del enunciado se leen las tres probabilidades de partida, y las demás casillas salen por diferencia.

$P(I)=0{,}60,\qquad P(B)=0{,}40,\qquad P(I\cap B)=0{,}20$

$\phantom{X}$	$B$	$\overline{B}$	$\text{Total}$
$I$	0,20	0,40	0,60
$\overline{I}$	0,20	0,20	0,40
$\text{Total}$	0,40	0,60	1

$\textbf{a) [0,5] ¿Son independientes los sucesos "consumir pan integral" y "consumir pan blanco"?}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades, así que comparamos ambos valores.

$P(I)\cdot P(B)=0{,}60\cdot0{,}40=0{,}24$

$P(I\cap B)=0{,}20\neq0{,}24$

Los dos sucesos no son independientes: consumir pan integral hace algo menos probable consumir además pan blanco.

$\textbf{b) [0,5] Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada sobre la fila de los que consumen integral.

$P(B\mid I)=\dfrac{P(B\cap I)}{P(I)}=\dfrac{0{,}20}{0{,}60}=\dfrac13\approx0{,}3333$

Uno de cada tres consumidores de pan integral consume también pan blanco.

$\textbf{c) [0,75] Calcule el porcentaje de la población que no consume ninguno de los dos tipos de pan.}$

No consumir ninguno es el suceso contrario de consumir alguno, así que empezamos por la unión.

$P(I\cup B)=P(I)+P(B)-P(I\cap B)=0{,}60+0{,}40-0{,}20=0{,}80$

$P(\overline{I}\cap\overline{B})=1-P(I\cup B)=1-0{,}80=0{,}20$

El $20\%$ de la población no consume ninguno de los dos tipos de pan.

$\textbf{d) [0,75] Sabiendo que un habitante no consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?}$

Volvemos a la definición de probabilidad condicionada, ahora sobre la fila de los que no consumen integral.

$P(B\cap\overline{I})=P(B)-P(B\cap I)=0{,}40-0{,}20=0{,}20$

$P(\overline{I})=1-P(I)=0{,}40$

$P(B\mid\overline{I})=\dfrac{0{,}20}{0{,}40}=\dfrac12=0{,}5$



La mitad de quienes no consumen pan integral consume pan blanco, frente a un tercio entre los que sí lo consumen: se ve de nuevo que los sucesos no son independientes.