Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Cuestión 4A.

Considere dos urnas, $U_1$ y $U_2$, tales que en $U_1$ hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de $U_1$, depositarla en $U_2$ y, a continuación, sacar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:

a) [0,5] Salga una bola roja en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
b) [0,5] Salga una bola verde en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
c) [0,75] Salga una bola verde en $U_2$.
d) [0,75] Haya salido roja en $U_1$ sabiendo que ha salido roja en $U_2$.

Llamamos $R_1$ y $V_1$ a los sucesos "la bola extraída de $U_1$ es roja" y "es verde", y $R_2$ y $V_2$ a los análogos en la segunda extracción. Como $U_1$ contiene 2 rojas y 3 verdes:

$P(R_1)=\dfrac{2}{5},\qquad P(V_1)=\dfrac{3}{5}$

La urna $U_2$ tenía 6 rojas y 3 verdes, y al recibir la bola pasa a tener 10, con una composición que depende del color trasvasado. Ese es el reparto que recoge el árbol.



$\textbf{a) [0,5] Salga una bola roja en } \boldsymbol{U_2}\textbf{ sabiendo que ha salido roja en } \boldsymbol{U_1}\textbf{.}$

Si la bola trasvasada es roja, la segunda urna queda con 7 rojas y 3 verdes sobre un total de 10, y basta aplicar la regla de Laplace.

$P(R_2\mid R_1)=\dfrac{7}{10}=0{,}7$

La probabilidad de sacar roja de $U_2$ habiendo sacado roja de $U_1$ es $0{,}7$.

$\textbf{b) [0,5] Salga una bola verde en } \boldsymbol{U_2}\textbf{ sabiendo que ha salido roja en } \boldsymbol{U_1}\textbf{.}$

En esa misma urna las verdes siguen siendo 3 de las 10, y además el suceso es el contrario del anterior.

$P(V_2\mid R_1)=1-P(R_2\mid R_1)=1-\dfrac{7}{10}=\dfrac{3}{10}=0{,}3$

La probabilidad pedida es $0{,}3$.

$\textbf{c) [0,75] Salga una bola verde en } \boldsymbol{U_2}\textbf{.}$

Ahora no sabemos qué bola se trasvasó, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sobre el color de la primera. Si se trasvasó verde, $U_2$ queda con 6 rojas y 4 verdes.

$P(V_2)=P(R_1)P(V_2\mid R_1)+P(V_1)P(V_2\mid V_1)$

$P(V_2)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{10}=\dfrac{6+12}{50}=\dfrac{18}{50}=\dfrac{9}{25}$

La probabilidad de que la bola extraída de $U_2$ sea verde es $\dfrac{9}{25}=0{,}36$.

$\textbf{d) [0,75] Haya salido roja en } \boldsymbol{U_1}\textbf{ sabiendo que ha salido roja en } \boldsymbol{U_2}\textbf{.}$

Se pregunta por la primera extracción conociendo el resultado de la segunda, es decir, por una probabilidad a posteriori: aplicamos el teorema de Bayes. El denominador es el suceso contrario del apartado anterior.

$P(R_2)=1-P(V_2)=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$

$P(R_1\mid R_2)=\dfrac{P(R_1)P(R_2\mid R_1)}{P(R_2)}=\dfrac{\frac{2}{5}\cdot\frac{7}{10}}{\frac{16}{25}}$

$P(R_1\mid R_2)=\dfrac{14/50}{32/50}=\dfrac{14}{32}=\dfrac{7}{16}$

Sabiendo que la segunda bola ha sido roja, la probabilidad de que la primera también lo fuera es $\dfrac{7}{16}=0{,}4375$.