Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Cuestión 4A.

En un cine hay tres salas. En la sala $S_1$ hay 240 espectadores, en la sala $S_2$ hay 180 y en la sala $S_3$ hay 80. Se sabe que la película de la sala $S_1$ gusta al 40 % de los espectadores, la de la sala $S_2$ al 50 % y la de la sala $S_3$ al 90 %. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.

a) [1] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.
b) [0,5] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala $S_3$.
c) [1] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala $S_3$ si le ha gustado.

Llamamos $S_1$, $S_2$ y $S_3$ a los sucesos "el espectador elegido estaba en esa sala" y $G$ a "le ha gustado la película". Las tres salas forman un sistema completo de sucesos, y como en total hay $240+180+80=500$ espectadores:

$P(S_1)=\dfrac{240}{500}=0{,}48,\qquad P(S_2)=\dfrac{180}{500}=0{,}36,\qquad P(S_3)=\dfrac{80}{500}=0{,}16$

$P(G\mid S_1)=0{,}40,\qquad P(G\mid S_2)=0{,}50,\qquad P(G\mid S_3)=0{,}90$



$\textbf{a) [1] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $G$.

$P(G)=P(S_1)P(G\mid S_1)+P(S_2)P(G\mid S_2)+P(S_3)P(G\mid S_3)$

$P(G)=0{,}48\cdot0{,}40+0{,}36\cdot0{,}50+0{,}16\cdot0{,}90$

$P(G)=0{,}192+0{,}180+0{,}144=0{,}516$

A algo más de la mitad de los espectadores, un $51{,}6\%$, le ha gustado la película que vio.

$\textbf{b) [0,5] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala } \boldsymbol{S_3}\textbf{.}$

Es un dato directo del enunciado: dentro de la sala $S_3$ la película gusta al $90\%$.

$P(G\mid S_3)=0{,}90$

La probabilidad de que le haya gustado sabiendo que estuvo en la tercera sala es $0{,}90$.

$\textbf{c) [1] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala } \boldsymbol{S_3}\textbf{ si le ha gustado.}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes con el denominador ya calculado en el apartado a).

$P(S_3\mid G)=\dfrac{P(S_3)P(G\mid S_3)}{P(G)}=\dfrac{0{,}16\cdot0{,}90}{0{,}516}$

$P(S_3\mid G)=\dfrac{0{,}144}{0{,}516}=\dfrac{12}{43}\approx0{,}2791$

De los espectadores satisfechos, cerca de un $28\%$ salió de la sala $S_3$, bastante más que el $16\%$ que representa esa sala en el total.