Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Cuestión 7.

El juego de los dados de Efron tiene 4 dados diferentes. Todos ellos son dados perfectos de 6 caras equiprobables, pero la numeración de sus 6 caras es diferente en cada uno, según se detalla en la siguiente tabla:

$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
Dado A	0	0	4	4	4	4
Dado B	3	3	3	3	3	3
Dado C	2	2	2	2	6	6
Dado D	1	1	1	5	5	5

Ana elige el dado A, Bea elige el dado B, Ceci elige el dado C y Delia elige el dado D. El juego consiste en que cada jugador lanza su dado, gana aquel que saque la mayor puntuación y pierde aquel que saque la menor puntuación. Pueden jugar uno contra uno o todos contra todos. Calcule:

a) [0,5] Si Ana juega contra Bea, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ana?
b) [0,75] Si Ana juega contra Bea 8 veces, ¿cuál es la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces?
c) [0,5] Si Ana juega contra Ceci, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ceci?
d) [0,75] Si juegan todos contra todos, ¿cuál es la probabilidad de que ni gane ni pierda Ana?

Anotamos la ley de cada dado a partir de la tabla del enunciado. Como al comparar dos dados cualesquiera nunca coinciden los valores, no hay empates: en cada enfrentamiento uno gana y otro pierde.

$A:\ P(0)=\dfrac{2}{6}=\dfrac13,\quad P(4)=\dfrac46=\dfrac23$

$B:\ P(3)=1$

$C:\ P(2)=\dfrac46=\dfrac23,\quad P(6)=\dfrac26=\dfrac13$

$D:\ P(1)=P(5)=\dfrac12$

$\textbf{a) [0,5] Si Ana juega contra Bea, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ana?}$

Bea saca siempre un 3, así que Ana gana exactamente cuando su dado da 4.

$P(\text{gana Ana})=P(A=4)=\dfrac23\approx0{,}6667$

Ana gana dos de cada tres partidas frente a Bea, pese a que su dado tiene dos caras con un cero.

$\textbf{b) [0,75] Si Ana juega contra Bea 8 veces, ¿cuál es la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces?}$

Bea gana una partida cuando Ana saca 0, con probabilidad $\frac13$, y las ocho partidas son independientes: el número de victorias de Bea sigue una binomial.

$X\sim B\left(8,\dfrac13\right),\qquad P(X=k)=\binom{8}{k}\left(\dfrac13\right)^{k}\left(\dfrac23\right)^{8-k}$

Pasamos al suceso contrario, que tiene menos términos:

$P(X\ge3)=1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right]$

$P(X=0)=\dfrac{256}{6561},\quad P(X=1)=\dfrac{1024}{6561},\quad P(X=2)=\dfrac{1792}{6561}$

$P(X\le2)=\dfrac{3072}{6561}=\dfrac{1024}{2187}$

$P(X\ge3)=1-\dfrac{1024}{2187}=\dfrac{1163}{2187}\approx0{,}5318$

La probabilidad de que Bea gane al menos tres de las ocho partidas es $0{,}5318$.

$\textbf{c) [0,5] Si Ana juega contra Ceci, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ceci?}$

Distinguimos según lo que saque Ana y aplicamos el teorema de la probabilidad total: si Ana saca 0 gana Ceci con seguridad, y si saca 4 solo gana cuando obtiene un 6.



$P(\text{gana Ceci})=\dfrac13\cdot1+\dfrac23\cdot\dfrac13=\dfrac13+\dfrac29$

$P(\text{gana Ceci})=\dfrac{3+2}{9}=\dfrac59\approx0{,}5556$

Ceci gana a Ana algo más de la mitad de las veces, aunque Ana ganaba a Bea: los dados de Efron no son transitivos.

$\textbf{d) [0,75] Si juegan todos contra todos, ¿cuál es la probabilidad de que Ana ni gane ni pierda?}$

Ana ni gana ni pierde cuando su puntuación queda en medio, es decir, cuando alguien la supera y alguien queda por debajo.

Si Ana saca 0 es la menor de las cuatro con seguridad, porque los otros dados dan como mínimo 1, 2 y 3: esa rama no aporta nada.

Si Ana saca 4, siempre tiene a Bea por debajo, así que solo hay que descartar el caso en que nadie la supere, esto es, $C=2$ y $D=1$:

$P(\text{Ana gana}\mid A=4)=\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac13$

$P(\text{ni gana ni pierde}\mid A=4)=1-\dfrac13=\dfrac23$

$P(\text{ni gana ni pierde})=\dfrac23\cdot\dfrac23=\dfrac49\approx0{,}4444$

La probabilidad de que Ana quede en una posición intermedia es $\dfrac49$.