Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

La Sra. Álvarez es una empresaria individual que se está planteando iniciar su actividad comercial en el sector de distribución de productos informáticos, para lo que va a realizar una inversión inicial de 10.000 €. Estima que los costes fijos para el primer año de actividad van a ascender a 4.000 €, y que los costes variables representarán el 80 % de la cifra de ventas. ¿Cuál debe ser la cifra de ventas necesaria para obtener el primer año un 10 % de rentabilidad sobre la inversión realizada? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cifra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ventas}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{10\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{realizada?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero se traduce el objetivo de rentabilidad en un beneficio en euros: un 10 % sobre la inversión inicial de 10.000 €.

$B=\mathrm{0,10}\cdot 10.000=1.000$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes totales, y los costes variables son el 80 % de la cifra de ventas:

$B=V-(CF+CV)=V-(4.000+\mathrm{0,80}\cdot V)$

Se sustituye el beneficio objetivo y se despeja la cifra de ventas:

$1.000=V-4.000-\mathrm{0,80}V$

$\mathrm{0,20}V=5.000$

$V={\displaystyle \frac{5.000}{\mathrm{0,20}}}=25.000$

La cifra de ventas necesaria es de 25.000 €.

Se comprueba: con 25.000 € de ventas los costes variables serían 20.000 €, que sumados a los 4.000 € de costes fijos dan 24.000 € de costes totales, y el beneficio resultante, 1.000 €, es justo el 10 % de los 10.000 € invertidos. Nótese que el margen sobre ventas es del 20 %, de modo que el umbral de rentabilidad de la Sra. Álvarez se sitúa en 4.000 entre 0,20, es decir, en unas ventas de 20.000 €.