Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

La empresa TRES se dedica a la elaboración y venta de una pieza de bisutería. En el año 2022 se vendieron 13.000 unidades de dicha pieza con la siguiente estructura de costes: [2,5 puntos]

- Total de costes fijos (o de estructura), 56.000 €

- Coste variable unitario, 12 €/unidad.

a) Determine el precio de venta unitario aplicado en 2022, sabiendo que ese año la empresa obtuvo unos beneficios de 48.000 €. Con ello, determine e interprete el punto muerto (o umbral de rentabilidad) de la empresa en dicho año. [1,25 puntos]

b) En el año 2023, el aumento de los precios de algunos factores de producción, ha provocado un cambio en la estructura de costes de la empresa, de tal forma que los costes fijos aumentan un 2 % y el coste variable unitario un 5 %. Para absorber dichos incrementos de costes, la empresa se plantea dos cuestiones: (a) ¿qué incremento deberán experimentar las ventas en 2023 para que se mantenga el beneficio, suponiendo constante el precio de venta unitario?; y (b) ¿qué incremento deberá experimentar el precio de venta unitario en 2023 para que se mantenga el beneficio, suponiendo que se vende el mismo volumen que el año anterior? Responda justificadamente a esas dos cuestiones. Exprese los porcentajes de variación. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{aplicado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2022,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{unos}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{48.000}}\mathbf{\text{€.}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{ello,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos totales y los costes totales. Llamando $P$ al precio de venta unitario, $Q$ al número de unidades vendidas, $CF$ al coste fijo y $CVu$ al coste variable unitario:

$B=IT-CT=P\cdot Q-CF-CVu\cdot Q$

Se despeja el precio con los datos de 2022:

$48.000=P\cdot 13.000-56.000-12\cdot 13.000$

$13.000P=48.000+56.000+156.000=260.000$

$P={\displaystyle \frac{260.000}{13.000}}=20$ €/unidad

El punto muerto es el número de unidades que iguala los ingresos totales con los costes totales, es decir, el volumen a partir del cual la empresa empieza a obtener beneficios:

$IT=CT\Rightarrow P\cdot Q^{\ast }=CF+CVu\cdot Q^{\ast }\Rightarrow Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-CVu}}$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{56.000}{20-12}}={\displaystyle \frac{56.000}{8}}=7.000$ unidades

El precio de venta unitario aplicado en 2022 fue de 20 € y el punto muerto se sitúa en 7.000 piezas. Esto significa que, vendiendo 7.000 piezas, el margen de 8 € que deja cada una cubre exactamente los 56.000 € de costes fijos y la empresa ni gana ni pierde; por debajo de esa cifra incurre en pérdidas y por encima obtiene beneficios. Con las 13.000 unidades efectivamente vendidas, la empresa trabajó muy por encima de su umbral, con un margen de seguridad de 6.000 unidades.




$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{2023,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{precios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{algunos}}\mathbf{\text{factores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{provocado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cambio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estructura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tal}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{fijos}}\mathbf{\text{aumentan}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{absorber}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{incrementos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{costes,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{plantea}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cuestiones:}}\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{incremento}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{experimentar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ventas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2023}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{unitario?;}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{incremento}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{experimentar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2023}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{Responda}}\mathbf{\text{justificadamente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esas}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cuestiones.}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{porcentajes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula primero la nueva estructura de costes de 2023:

$C{F}^{\mathrm{\prime }}=56.000\cdot \mathrm{1,02}=57.120$ €

$CV{u}^{\mathrm{\prime }}=12\cdot \mathrm{1,05}=\mathrm{12,60}$ €/unidad

Primera cuestión. Manteniendo el precio en 20 €, se despeja el volumen de ventas que deja el mismo beneficio de 48.000 €:

$48.000=20Q-57.120-\mathrm{12,60}Q$

$\mathrm{7,40}Q=105.120\Rightarrow Q={\displaystyle \frac{105.120}{\mathrm{7,40}}}=\mathrm{14.205,41}$ unidades

${\displaystyle \frac{\mathrm{14.205,41}-13.000}{13.000}}=\mathrm{0,0927}=\mathrm{9,27}\mathrm{\%}$

Las ventas deberían crecer un 9,27 %, hasta 14.206 piezas, porque el margen unitario se estrecha de 8 € a 7,40 € y hacen falta más unidades para cubrir unos costes fijos también mayores.

Segunda cuestión. Manteniendo el volumen en 13.000 unidades, se despeja ahora el precio:

$48.000=P\cdot 13.000-57.120-\mathrm{12,60}\cdot 13.000$

$13.000P=48.000+57.120+163.800=268.920$

$P={\displaystyle \frac{268.920}{13.000}}=\mathrm{20,69}$ €/unidad

${\displaystyle \frac{\mathrm{20,6862}-20}{20}}=\mathrm{0,0343}=\mathrm{3,43}\mathrm{\%}$

El precio debería subir un 3,43 %, hasta 20,69 € por pieza. La comparación entre las dos vías es ilustrativa: subir el precio menos de un 4 % basta para absorber el encarecimiento, mientras que por la vía del volumen haría falta vender casi un 10 % más, un esfuerzo comercial mucho mayor y sujeto además a la reacción de la demanda.