Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Ejercicio 4. Cinto por Cinto es un taller dedicado a la fabricación de cinturones de cuero con una hebilla cada uno. Hasta ahora viene comprando las hebillas a un proveedor que cobra 6 € por cada una. Se está evaluando la posibilidad de que Cinto por Cinto produzca sus propias hebillas. Para ello, habría que contratar un trabajador adicional con un sueldo de 21.000 € anuales y alquilar maquinaria especializada por 1.400 € al año. Además, el coste de las materias primas utilizadas para la fabricación de las hebillas sería de 2 € por hebilla.

a) Si Cinto por Cinto vendiese 10.000 cinturones al año, ¿le convendría comprar o producir las hebillas? (Hasta 0,6 puntos)

b) ¿A partir de qué cantidad de cinturones resultaría más rentable producir las hebillas que comprarlas? (Hasta 0,6 puntos)

c) Represente gráficamente los costes de comprarlas y de producirlas e indique en el gráfico el rango de hebillas para el que es preferible producirlas y el rango para el que es preferible comprarlas. (Hasta 0,8 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{Cinto}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{Cinto}}\mathbf{\text{vendiese}}\mathbf{\text{10.000}}\mathbf{\text{cinturones}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{¿le}}\mathbf{\text{convendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{hebillas?}}\mathbf{\text{(Hasta}}\mathbf{\text{0,6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Producir las hebillas supondría unos costes fijos anuales (el trabajador adicional y el alquiler de la maquinaria) de $21.000+1.400=22.400\text{ €}$, más 2 € de materias primas por hebilla.

Coste de comprar las 10.000 hebillas, al precio $P$ del proveedor:

$C{T}_{comprar}=P\cdot q$

$C{T}_{comprar}=6\cdot 10.000=60.000\text{ €}$

Coste de producirlas, con esos costes fijos y el coste variable unitario de las materias primas:

$C{T}_{producir}=CF+CVu\cdot q$

$C{T}_{producir}=22.400+2\cdot 10.000=42.400\text{ €}$

Para 10.000 cinturones al año el coste de producir las hebillas es inferior al de comprarlas, por lo que a la empresa le convendría producirlas, con un ahorro de 17.600 € anuales.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cinturones}}\mathbf{\text{resultar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{rentable}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{hebillas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{comprarlas?}}\mathbf{\text{(Hasta}}\mathbf{\text{0,6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se igualan los costes de las dos alternativas. Llamando $q$ al número de hebillas:

$C{T}_{comprar}=C{T}_{producir}\Rightarrow P\cdot q=CF+CVu\cdot q$

$6q=22.400+2q$

$4q=22.400\Rightarrow q^{\ast }={\displaystyle \frac{22.400}{4}}=5.600$

Con 5.600 cinturones al año los costes de comprar y de producir se igualan; a partir de esa cantidad resulta más rentable producir las hebillas que comprarlas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{comprarlas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producirlas}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fico}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hebillas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{preferible}}\mathbf{\text{producirlas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{preferible}}\mathbf{\text{comprarlas.}}\mathbf{\text{(Hasta}}\mathbf{\text{0,8}}\mathbf{\text{puntos)}}$



La recta que parte del origen es el coste de comprar, con pendiente 6 € por hebilla; la que nace en 22.400 € es el coste de producir, con pendiente 2 €. Se cortan en 5.600 hebillas: a la izquierda de ese punto la recta de comprar va por debajo y es preferible comprar; a la derecha va por debajo la de producir y es preferible producir.