Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Pregunta 5 (2 puntos)

Opción 5.1. En la urna $U_1$ hay 5 bolas negras y 3 bolas blancas. En la urna $U_2$ hay 6 bolas negras y 2 bolas blancas. Se escoge una urna al azar y se extrae una bola.

a) (1 pto.) Calcule la probabilidad de que la bola sea blanca.

b) (1 pto.) Sabiendo que la bola ha salido blanca, calcule la probabilidad de que se haya extraído de la urna $U_1$.

Llamamos $U_1$ y $U_2$ a los sucesos «extraer la bola de la urna 1» y «extraer la bola de la urna 2», y $B$ al suceso «la bola extraída es blanca». Como la urna se escoge al azar, $P(U_1)=P(U_2)=\frac{1}{2}$; dentro de cada urna, la probabilidad de bola blanca es la proporción de bolas blancas que contiene.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la bola sea blanca.}\ (1\ \text{pto.})$

El experimento tiene dos etapas y las dos urnas forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman los dos caminos del árbol que acaban en bola blanca.

$P(B)=P(U_1)\cdot P(B\mid U_1)+P(U_2)\cdot P(B\mid U_2)$

$P(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{16}+\dfrac{2}{16}=\dfrac{5}{16}$

La probabilidad de extraer una bola blanca es $\dfrac{5}{16}=0{,}3125$.

$\textbf{b) Sabiendo que la bola ha salido blanca, calcule la probabilidad de que se haya extraído de la urna }\boldsymbol{U_1}\textbf{.}\ (1\ \text{pto.})$

Ahora se conoce el resultado final y se pregunta por la primera etapa: es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(U_1\mid B)=\dfrac{P(U_1)\cdot P(B\mid U_1)}{P(B)}$

$P(U_1\mid B)=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8}}{\frac{5}{16}}=\dfrac{\frac{3}{16}}{\frac{5}{16}}=\dfrac{3}{5}$

Sabiendo que la bola es blanca, la probabilidad de que proceda de la urna $U_1$ es $\dfrac{3}{5}=0{,}6$.