Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2026

El radón (Rn) es un gas que aparece en las cadenas radiactivas naturales. En España, se calcula que entre 1500 y 2000 cánceres de pulmón al año son debidos a la desintegración del isótopo ${}^{222}\text{Rn}$ acumulado en el interior de las casas, sobre todo en sótanos y edificios poco ventilados.

a) Sabiendo que la cantidad de átomos del ${}^{222}\text{Rn}$ disminuye en un 16,6 % en un día, calcule la constante de desintegración del ${}^{222}\text{Rn}$ y su periodo de semidesintegración. [1 punto]

b) Si disponemos inicialmente de $1\text{ mg}$ de ${}^{222}\text{Rn}$, ¿cuántos átomos se desintegrarán en nueve días? [1,5 puntos]

Datos: Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}$; masa atómica del radón 222, $M_{\text{Rn}}=222\text{ u}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{disminuye}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{16,6}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ciento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

La ley de desintegración radiactiva es exponencial. Que la muestra pierda el 16,6 por ciento en un día significa que queda el 83,4 por ciento:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow {\displaystyle \frac{N}{N_0}}=\mathrm{0,834}\text{ con }t=1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}=86400\text{ s}$

Se toman logaritmos neperianos y se despeja la constante:

$\lambda =-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,834}}{86400}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1815}}{86400}}=\mathrm{2,1}\cdot {10}^{-6}{\text{s}}^{-1}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad, y se relaciona con la constante así:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{2,1}\cdot {10}^{-6}}}=\mathrm{3,3}\cdot {10}^5\text{ s}=\mathrm{3,82}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{dispone}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{mg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rad}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{222,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desintegran}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{nueve}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}$

Primero hay que pasar de masa a número de núcleos, con el número de Avogadro:

$N_0={\displaystyle \frac{m}{M_{\text{Rn}}}}{N}_A={\displaystyle \frac{1\cdot {10}^{-3}}{222}}\cdot \mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}=\mathrm{2,72}\cdot {10}^{18}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Lo que se pide no son los que quedan, sino los que se han desintegrado, es decir, la diferencia:

$\mathrm{\Delta }N=N_0-N(t)=N_0(1-e^{-\lambda t})$

$t=9\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}=9\cdot 86400=\mathrm{7,776}\cdot {10}^5\text{ s}\lambda t=\mathrm{2,1}\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{7,776}\cdot {10}^5=\mathrm{1,63}$

$\mathrm{\Delta }N=\mathrm{2,72}\cdot {10}^{18}(1-e^{-\mathrm{1,63}})=\mathrm{2,72}\cdot {10}^{18}\cdot \mathrm{0,804}=\mathrm{2,19}\cdot {10}^{18}\acute{\text{a}}\text{tomos}$

En nueve días se desintegra el 80 por ciento de la muestra. Es coherente con el periodo de semidesintegración calculado: nueve días son casi dos periodos y medio, y en dos periodos ya solo quedaría la cuarta parte.