Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · País Vasco · 2026

Problema, BLOQUE D: Física Nuclear y de Partículas
Este bloque consta de 2 problemas. Debes responder solo a uno.
D2.- La masa de un núcleo de ${}^{239}\mathrm{P}\mathrm{u}$ (plutonio) es 239.05 u y su periodo de semidesintegración es 24200 años. Determina:

a) La constante de desintegración $\lambda$. (0.50 puntos)
b) La actividad de una muestra de 1.0 mg de ${}^{239}\mathrm{P}\mathrm{u}$. (1.00 punto)
c) El tiempo necesario para que quede el 25\% de los núcleos de la muestra anterior. (1.00 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0.50}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda una muestra en reducirse a la mitad. Imponiéndolo en la ley de desintegración se obtiene su relación con la constante de desintegración:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow {\displaystyle \frac{N_0}{2}}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}$

$\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}=-\lambda T_{1\mathrm{/}2}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

Antes de sustituir hay que pasar el periodo a segundos, porque la actividad se mide en desintegraciones por segundo:

$T_{1\mathrm{/}2}=24200\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}\cdot \mathrm{3,16}\times {10}^7\text{s/a}\tilde{\text{n}}\text{o}=\mathrm{7,65}\times {10}^{11}\mathrm{s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{7,65}\times {10}^{11}}}=\mathrm{9,06}\times {10}^{-13}{\mathrm{s}}^{-1}$

La constante de desintegración del plutonio-239 vale $\mathrm{9,06}\times {10}^{-13}{\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1.0}}\mathbf{\text{mg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{plutonio-239.}}\mathbf{\text{(1.00}}\mathbf{\text{punto)}}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda N$

Hace falta, por tanto, contar cuántos núcleos hay en 1,0 mg. La masa de un solo núcleo se obtiene pasando de unidades de masa atómica a kilogramos:

$m_{\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleo}}=\mathrm{239,05}\mathrm{u}\cdot \mathrm{1,66}\times {10}^{-27}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{u}=\mathrm{3,97}\times {10}^{-25}\mathrm{k}\mathrm{g}$

$N={\displaystyle \frac{\mathrm{1,0}\times {10}^{-6}}{\mathrm{3,97}\times {10}^{-25}}}=\mathrm{2,52}\times {10}^{18}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

$A=\mathrm{9,06}\times {10}^{-13}\cdot \mathrm{2,52}\times {10}^{18}=\mathrm{2,28}\times {10}^6\mathrm{B}\mathrm{q}$

La actividad de la muestra es de $\mathrm{2,28}\times {10}^6$ becquerelios, es decir, algo más de dos millones de desintegraciones por segundo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quede}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{25\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(1.00}}\mathbf{\text{punto)}}$

Que quede el 25 % es lo mismo que decir que quede la cuarta parte, y reducirse a la cuarta parte es reducirse a la mitad dos veces seguidas. El tiempo pedido es, por tanto, el doble del periodo de semidesintegración.



Se comprueba con la ley de desintegración:

$\mathrm{0,25}{N}_0=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \ln \mathrm{0,25}=-\lambda t$

$t={\displaystyle \frac{-\ln \mathrm{0,25}}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,386}}{\mathrm{9,06}\times {10}^{-13}}}=\mathrm{1,53}\times {10}^{12}\mathrm{s}$

Expresado en años, que es la unidad en la que da el dato el enunciado:

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{1,53}\times {10}^{12}}{\mathrm{3,16}\times {10}^7}}=\mathrm{4,84}\times {10}^4\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Han de transcurrir $\mathrm{4,84}\times {10}^4$ años, esto es, 48.400 años, que son exactamente dos periodos de semidesintegración.