Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

El 85 % de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El 75 % de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el 5 % de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.

a) Calcule el porcentaje de alumnos del instituto que llegan tarde a primera hora. [1 punto]

b) Se elige un alumno del centro al azar. Halle la probabilidad de que sea de un pueblo de alrededor si se sabe que ha llegado puntual a clase por la mañana. [1 punto]

Se nombran los dos sucesos que organizan el problema: $L$, «el alumno vive en la misma localidad que el centro», y $P$, «el alumno llega puntual a primera hora».

Del enunciado se leen la proporción de cada procedencia y, dentro de cada una, la proporción de puntualidad:

$P(L)=0{,}85,\qquad P(\overline{L})=0{,}15,\qquad P(P\mid \overline{L})=0{,}75,\qquad P(\overline{P}\mid L)=0{,}05$

Se ordena todo en un diagrama de árbol.



$\textbf{a) (1 punto) Calcule el porcentaje de alumnos del instituto que llegan tarde a primera hora.}$

Llegar tarde es el suceso $\overline{P}$. Como los alumnos de dentro y de fuera de la localidad forman un sistema completo, se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorre cada rama del árbol que acaba en $\overline{P}$ y se suman los productos.

$P(\overline{P})=P(L)\cdot P(\overline{P}\mid L)+P(\overline{L})\cdot P(\overline{P}\mid \overline{L})$

$P(\overline{P})=0{,}85\cdot 0{,}05+0{,}15\cdot 0{,}25=0{,}0425+0{,}0375=0{,}08$

El 8 % del alumnado del instituto llega tarde a primera hora.

$\textbf{b) (1 punto) Halle la probabilidad de que un alumno elegido al azar sea de un pueblo de alrededor si se sabe que ha llegado puntual.}$

Ahora el dato es el efecto (ha llegado puntual) y se pregunta por la causa (de dónde viene), así que se trata de una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes. El denominador es la probabilidad de llegar puntual, complementaria de la del apartado anterior:

$P(P)=1-P(\overline{P})=1-0{,}08=0{,}92$

$P(\overline{L}\mid P)=\dfrac{P(\overline{L}\cap P)}{P(P)}=\dfrac{P(\overline{L})\cdot P(P\mid \overline{L})}{P(P)}=\dfrac{0{,}15\cdot 0{,}75}{0{,}92}$

$P(\overline{L}\mid P)=\dfrac{0{,}1125}{0{,}92}=0{,}1223$

La probabilidad de que un alumno puntual venga de un pueblo de alrededor es $0{,}1223$, algo menor que el 15 % que suponen esos alumnos en el centro: los que vienen de fuera llegan tarde con más frecuencia.