Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2 puntos)

CONTEXTO

Los índices de lectura tanto de libros como de cómics están aumentando en los últimos años, con especial incidencia entre los adolescentes. Según un informe sobre hábitos de lectura, más del 60 % de la población leyó un libro o un cómic en los últimos tres meses.

Para promover el hábito de la lectura, dentro de la política cultural del ayuntamiento, los responsables municipales de una ciudad gallega están organizando una feria de cómics para el próximo mes de septiembre. Según los datos proporcionados por los organizadores de otras ferias similares, el tiempo que una persona va a pasar en dicha feria puede considerarse que sigue una distribución normal de media igual a 50 minutos y desviación típica igual a 19,5 minutos.

Responda estos dos apartados: 1.1. y 1.2.

(Será preciso usar alguno o algunos de los siguientes valores, aunque no todos (entiéndase que $Z$ sigue una distribución $N(0,1)$): $P(Z \le 0{,}1) = 0{,}5398$, $P(Z \le 0{,}26) = 0{,}6026$, $P(Z \le 0{,}51) = 0{,}6950$, $P(Z \le 1{,}03) = 0{,}8485$, $P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997$, $P(Z \le 2{,}33) = 0{,}9901$.)

1.1. Calcule la probabilidad de que un asistente pase entre 45 y 70 minutos en la feria.

1.2. Si una persona entró a la feria a las 17:00, calcule la probabilidad de que salga antes de las 18:00 sabiendo que a las 17:45 aún estaba en la feria.

El tiempo de permanencia en la feria es una variable $X$ con distribución normal de media $\mu = 50$ minutos y desviación típica $\sigma = 19{,}5$ minutos:

$X \sim N(50\,;\,19{,}5)$

Para poder usar la tabla hay que tipificar, es decir, pasar a la normal estándar restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} = \dfrac{X-50}{19{,}5} \sim N(0,1)$

$\textbf{1.1. Calcule la probabilidad de que un asistente pase entre 45 y 70 minutos en la feria.}$

Se tipifican los dos extremos del intervalo:

$z_1 = \dfrac{45-50}{19{,}5} = \dfrac{-5}{19{,}5} = -0{,}256\ldots \approx -0{,}26$

$z_2 = \dfrac{70-50}{19{,}5} = \dfrac{20}{19{,}5} = 1{,}025\ldots \approx 1{,}03$

Los dos valores redondeados están en la lista que da el enunciado, señal de que el redondeo a dos decimales es el previsto.

$P(45 \le X \le 70) = P(-0{,}26 \le Z \le 1{,}03) = P(Z \le 1{,}03) - P(Z \le -0{,}26)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que la probabilidad de la izquierda se obtiene por la simetría de la campana respecto del eje vertical:

$P(Z \le -0{,}26) = 1 - P(Z \le 0{,}26) = 1 - 0{,}6026 = 0{,}3974$

$P(45 \le X \le 70) = 0{,}8485 - 0{,}3974 = 0{,}4511$

La probabilidad pedida es $\textbf{0,4511}$, es decir, algo más del 45 % de los asistentes pasa en la feria entre tres cuartos de hora y una hora y diez.

$\textbf{1.2. Si una persona entró a la feria a las 17:00, calcule la probabilidad de que salga antes de las 18:00 sabiendo que a las 17:45 aún estaba en la feria.}$

Conviene medir los tiempos en minutos desde que la persona entró. Salir antes de las 18:00 significa $X < 60$, y seguir dentro a las 17:45 significa $X > 45$. Se pide una probabilidad condicionada:

$P(X < 60 \mid X > 45) = \dfrac{P(X<60 \cap X>45)}{P(X>45)} = \dfrac{P(45 < X < 60)}{P(X > 45)}$

El suceso intersección es simplemente estar entre 45 y 60 minutos: si sale antes de los 60 minutos y aún estaba a los 45, su permanencia está entre esos dos valores.

Falta tipificar los 60 minutos:

$z = \dfrac{60-50}{19{,}5} = \dfrac{10}{19{,}5} = 0{,}512\ldots \approx 0{,}51$

Numerador:

$P(45 < X < 60) = P(Z \le 0{,}51) - P(Z \le -0{,}26) = 0{,}6950 - 0{,}3974 = 0{,}2976$

Denominador:

$P(X > 45) = 1 - P(Z \le -0{,}26) = 1 - 0{,}3974 = 0{,}6026$

$P(X < 60 \mid X > 45) = \dfrac{0{,}2976}{0{,}6026} = 0{,}4938$

La probabilidad pedida es $\textbf{0,4938}$, prácticamente un 50 %.

Merece la pena comparar este resultado con la probabilidad sin condicionar: $P(X<60) = 0{,}6950$, casi un 70 %. Saber que a las 17:45 la persona seguía dentro elimina a todos los que hicieron una visita corta y hace bajar la probabilidad de que salga en el siguiente cuarto de hora.