Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2026

Una muestra radiactiva contiene inicialmente un isótopo inestable $X$ cuya actividad inicial es $\mathrm{6,0}\cdot {10}^{12}$ Bq. Tras 10 días, la actividad medida es: $\mathrm{7,5}\cdot {10}^{11}$ Bq.

a) Determina la constante de desintegración $\lambda$ del isótopo, en $(\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}{)}^{-1}$. [0,6 puntos]

b) Calcula el periodo de semidesintegración $T_{1\mathrm{/}2}$, en días. [0,4 puntos]

c) Determina cuántos núcleos radiactivos había inicialmente en la muestra. [0,75 puntos]

d) Si en cada desintegración se libera una energía de $\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-13}$ J, ¿cuál es la energía total liberada en los primeros 10 días? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo,}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mrow><mtext>d</mtext><mover\; accent="true"><mtext>ı</mtext><mo>ˊ</mo></mover><mtext>as</mtext></mrow><msup><mo\; stretchy="false">)</mo><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn></mrow></msup></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos sin desintegrar, así que decae con la misma ley exponencial que ellos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se despeja la constante de desintegración tomando logaritmos:





$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{t}}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}={\displaystyle \frac{1}{10}}\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{12}}{\mathrm{7,5}\cdot {10}^{11}}}={\displaystyle \frac{\ln 8}{10}}$

$\lambda =\mathrm{0,208}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

La constante de desintegración vale $\mathrm{0,208}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$.



El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad, y se relaciona con la constante de desintegración según:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{0,208}}}$

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{3,33}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

El periodo de semidesintegración es de $\mathrm{3,33}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$. Se llega al mismo resultado sin calculadora: la actividad se ha reducido a la octava parte, es decir, se ha dividido tres veces por dos, de modo que en 10 días caben exactamente tres periodos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{radiactivos}}\mathbf{\text{hab}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo y vale $A=\lambda N$. El becquerel es una desintegración por segundo, así que hay que expresar la constante de desintegración en segundos:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,208}}{86400}}=\mathrm{2,41}\cdot {10}^{-6}{\text{s}}^{-1}$

$N_0={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{12}}{\mathrm{2,41}\cdot {10}^{-6}}}$

$N_0=\mathrm{2,49}\cdot {10}^{18}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Inicialmente había $\mathrm{2,49}\cdot {10}^{18}$ núcleos radiactivos, algo menos de una millonésima de mol.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{libera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3,0</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">13</mn></mrow></msup></mrow>}\mathbf{\text{J,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{liberada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{primeros}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La energía liberada es la de cada desintegración multiplicada por el número de núcleos que se han desintegrado en esos diez días. Como la actividad ha caído a la octava parte, también lo ha hecho el número de núcleos:

$N_{\text{des}}=N_0-N=N_0(1-{\displaystyle \frac{1}{8}})=\mathrm{2,49}\cdot {10}^{18}\cdot \mathrm{0,875}$

$N_{\text{des}}=\mathrm{2,18}\cdot {10}^{18}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

$E=N_{\text{des}}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^{-13}=\mathrm{2,18}\cdot {10}^{18}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^{-13}$

$E=\mathrm{6,5}\cdot {10}^5\text{ J}$

En los primeros diez días la muestra libera unos $\mathrm{6,5}\cdot {10}^5\text{ J}$, energía que en su mayor parte se desprende al principio, cuando la actividad todavía es alta.