Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2025

La masa del núcleo del isótopo ${}_{15}^{31}\text{P}$ es 30,970 u.

a) Calcula el defecto de masa. [1,25 puntos]

b) Halla la energía media de enlace por nucleón en MeV. [1,25 puntos]

Datos: $1\text{ u}=\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; masa del protón: 1,0073 u; masa del neutrón: 1,0087 u; velocidad de la luz en el vacío: $c=3\cdot {10}^8$ m/s.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{defecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El número atómico del fósforo es 15 y su número másico, 31, de modo que el núcleo está formado por 15 protones y 16 neutrones.

El defecto de masa es la diferencia entre la masa de los nucleones por separado y la masa del núcleo ya formado:

$\mathrm{\Delta }m=Z{m}_p+(A-Z)m_n-m_{n\acute{u}cleo}$

$\mathrm{\Delta }m=15\cdot \mathrm{1,0073}+16\cdot \mathrm{1,0087}-\mathrm{30,970}$

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{15,1095}+\mathrm{16,1392}-\mathrm{30,970}$

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{0,2787}\text{ u}$

El defecto de masa vale $\mathrm{0,2787}\text{ u}$, algo menos del 1 % de la masa del núcleo. Esa masa que falta no ha desaparecido: se liberó en forma de energía al formarse el núcleo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{enlace}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{nucle}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{MeV.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La energía de enlace es el equivalente energético del defecto de masa, según la equivalencia masa-energía de Einstein. Se expresa antes el defecto de masa en kilogramos:

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{0,2787}\cdot \mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{4,626}\cdot {10}^{-28}\text{ kg}$

$E=\mathrm{\Delta }m{c}^2=\mathrm{4,626}\cdot {10}^{-28}\cdot {(3\cdot {10}^8)}^2$

$E=\mathrm{4,16}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

Y se convierte a las unidades habituales en física nuclear:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{4,16}\cdot {10}^{-11}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{2,60}\cdot {10}^8\text{ eV}=260\text{ MeV}$

La energía media de enlace por nucleón es esa energía repartida entre los 31 nucleones del núcleo:

${\displaystyle \frac{E}{A}}={\displaystyle \frac{260}{31}}$

${\displaystyle \frac{E}{A}}=\mathrm{8,39}\text{MeV/nucle}\acute{\text{o}}\text{n}$

Cada nucleón está ligado, en promedio, con $\mathrm{8,39}\text{ MeV}$. El valor encaja con la curva de energía de enlace por nucleón, que se mantiene en torno a los 8 MeV para casi todos los núcleos y alcanza su máximo, unos 8,8 MeV, en la zona del hierro: el fósforo-31 es, por tanto, un núcleo estable.