Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Se sabe que el 30 % de una población de la Comarca Villuercas-Ibores-Jara ve el programa de televisión «La Revuelta». La productora El Terrat, empresa encargada de llevar a cabo dicho programa, decide llamar por teléfono, al azar, a 10 personas de esa población:

a) Calcule la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas. [0,75 puntos]

c) Se sabe que, en la misma población, el 35 % ve el programa «El Hormiguero» y se sabe también que el 40 % no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea los dos programas? [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas. [0,75 puntos]}$

Se llama al azar a 10 personas y cada una ve o no el programa con probabilidad constante, así que el número de espectadores entre los diez sigue una distribución binomial.

$X\sim B(10\,;\,0{,}3) \qquad P(X=r)=\binom{10}{r}0{,}3^{\,r}\,0{,}7^{\,10-r}$

Más de 8 personas significa 9 o 10, así que sumamos los dos casos.

$P(X>8)=P(X=9)+P(X=10)$

$P(X=9)=\binom{10}{9}0{,}3^{9}\,0{,}7=10\cdot 0{,}3^{9}\cdot 0{,}7\approx 0{,}000138$

$P(X=10)=0{,}3^{10}\approx 0{,}0000059$

$P(X>8)\approx 0{,}000144$

La probabilidad es de unas 14 diezmilésimas de por ciento: es un suceso prácticamente imposible.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas. [0,75 puntos]}$

Que lo vea alguna es lo contrario de que no lo vea ninguna, y este último caso es un solo término de la binomial.

$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0{,}7^{10}$

$0{,}7^{10}\approx 0{,}0282$

$P(X\geq 1)\approx 1-0{,}0282=0{,}9718$

La probabilidad de que alguna de las diez personas estuviera viendo el programa es de $0{,}9718$.

$\textbf{c) Se sabe que, en la misma población, el 35 \% ve el programa «El Hormiguero» y se sabe también que el 40 \% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea los dos programas? [1 punto]}$

Llamamos $R$ al suceso «ver La Revuelta» y $H$ al suceso «ver El Hormiguero». No ver ninguno de los dos es lo contrario de ver alguno, así que por las leyes de De Morgan obtenemos primero la probabilidad de la unión.

$P\left(\overline{R}\cap\overline{H}\right)=P\left(\overline{R\cup H}\right)=0{,}40 \Rightarrow P(R\cup H)=1-0{,}40=0{,}60$

De la fórmula de la probabilidad de la unión despejamos la de la intersección.

$P(R\cup H)=P(R)+P(H)-P(R\cap H)$

$0{,}60=0{,}30+0{,}35-P(R\cap H) \Rightarrow P(R\cap H)=0{,}05$



La probabilidad de que una persona elegida al azar vea los dos programas es $0{,}05$, es decir, un 5 %.