Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2026

El pasado mes de diciembre falleció el cantante extremeño Roberto Iniesta (Robe), considerado uno de los grandes iconos de la música española. Robe publicó, entre otros, 12 discos con su grupo Extremoduro y 4 discos en solitario. Nos hemos encontrado con un fan que nos ha dicho que se sabe el 70 % de las canciones de Extremoduro y el 80 % de las canciones de su etapa en solitario. Si ponemos una canción de uno de los discos de Robe:

a) ¿Qué probabilidad hay de que ese fan se sepa la canción? [1 punto]

b) Si nos ha dicho que se sabe la canción que está sonando, ¿qué probabilidad hay de que la canción sea de la etapa de Extremoduro? [0,5 puntos]

c) ¿Qué probabilidad hay de que la canción sea de su etapa en solitario o no la sepa? [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$E\equiv$ la canción es de un disco de Extremoduro,
$S\equiv$ la canción es de un disco de la etapa en solitario,
$C\equiv$ el fan se sabe la canción.

Los 16 discos forman un sistema completo de sucesos, y la canción se elige al azar entre ellos.

$P(E)=\dfrac{12}{16}=0{,}75 \qquad P(S)=\dfrac{4}{16}=0{,}25$



$\textbf{a) ¿Qué probabilidad hay de que ese fan se sepa la canción? [1 punto]}$

Las dos etapas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en «se la sabe».

$P(C)=P(E)\cdot P(C/E)+P(S)\cdot P(C/S)$

$P(C)=0{,}75\cdot 0{,}7+0{,}25\cdot 0{,}8=0{,}525+0{,}2=0{,}725$

La probabilidad de que el fan se sepa la canción es $0{,}725$.

$\textbf{b) Si nos ha dicho que se sabe la canción que está sonando, ¿qué probabilidad hay de que la canción sea de la etapa de Extremoduro? [0,5 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori, porque se conoce el resultado y se pregunta por la causa. Se aplica el teorema de Bayes.

$P(E/C)=\dfrac{P(E)\cdot P(C/E)}{P(C)}=\dfrac{0{,}525}{0{,}725}=\dfrac{21}{29}\approx 0{,}7241$

Si el fan se sabe la canción, la probabilidad de que sea de Extremoduro es $\dfrac{21}{29}\approx 0{,}7241$.

$\textbf{c) ¿Qué probabilidad hay de que la canción sea de su etapa en solitario o no la sepa? [1 punto]}$

Se pide la probabilidad de una unión, que se obtiene sumando las de los dos sucesos y descontando la de su intersección.

$P\left(\overline{C}\right)=1-P(C)=1-0{,}725=0{,}275$

$P\left(S\cap\overline{C}\right)=P(S)\cdot P\left(\overline{C}/S\right)=0{,}25\cdot 0{,}2=0{,}05$

$P\left(S\cup\overline{C}\right)=P(S)+P\left(\overline{C}\right)-P\left(S\cap\overline{C}\right)$

$P\left(S\cup\overline{C}\right)=0{,}25+0{,}275-0{,}05=0{,}475$

La probabilidad de que la canción sea de la etapa en solitario o de que el fan no se la sepa es $0{,}475$.