Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2021

Ejercicio A5
En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80 % corresponde al medicamento A, el 10 % al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de I y el 5 % de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:

a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.
b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.

Llamamos $A$, $I$ y $M$ a los sucesos «coger un medicamento de ese tipo», y $C$ al suceso «el medicamento está caducado». El porcentaje del tipo $M$ se obtiene por diferencia:

$P(M)=1-0{,}80-0{,}10=0{,}10$

Con eso, los datos del enunciado se organizan en el siguiente árbol:



$\textbf{a) Hallar la probabilidad de coger un medicamento caducado.}$

Los tres tipos forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que acaban en $C$.

$P(C)=P(A)\,P(C|A)+P(I)\,P(C|I)+P(M)\,P(C|M)$

$=0{,}80\cdot0{,}10+0{,}10\cdot0{,}20+0{,}10\cdot0{,}05$

$=0{,}080+0{,}020+0{,}005=0{,}105$

La probabilidad de coger un medicamento caducado es $0{,}105$, es decir, un $10{,}5\%$.

$\textbf{b) Si sabemos que el medicamento está caducado, hallar la probabilidad de que sea del tipo } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Ahora el dato es el estado del medicamento y se pregunta por su tipo, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(A|C)=\dfrac{P(A)\,P(C|A)}{P(C)}$

$=\dfrac{0{,}80\cdot0{,}10}{0{,}105}=\dfrac{0{,}080}{0{,}105}=0{,}762$

Sabiendo que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo $A$ es $0{,}762$, es decir, un $76{,}2\%$. Es un valor alto pese a que el tipo $A$ caduca menos que el $I$: pesa mucho más que suponga el $80\%$ del lote.