Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2020

Ejercicio A5
En una empresa el 70 por ciento de sus trabajadoras están satisfechas con su contrato, y entre las satisfechas con su contrato el 80 por ciento gana más de 1000 euros. Entre las no satisfechas solo el 20 por ciento gana más de 1000 euros. Si se elige una trabajadora al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 1000 euros?
b) Si gana más de 1000 euros, ¿cuál es la probabilidad que esté satisfecha con su contrato?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane menos de 1000 euros y esté satisfecha con su contrato?

Llamamos $S$ al suceso «la trabajadora está satisfecha con su contrato» y $G$ al suceso «gana más de 1000 euros». Los datos del enunciado se organizan en el siguiente árbol:



$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 1000 euros?}$

Estar satisfecha y no estarlo forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que acaban en $G$.

$P(G)=P(S)\,P(G|S)+P(\overline{S})\,P(G|\overline{S})$

$=0{,}70\cdot0{,}80+0{,}30\cdot0{,}20$

$=0{,}56+0{,}06=0{,}62$

La probabilidad de que gane más de 1000 euros es $0{,}62$, es decir, un $62\%$.

$\textbf{b) Si gana más de 1000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que esté satisfecha con su contrato?}$

Ahora el dato es el sueldo y se pregunta por la satisfacción, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(S|G)=\dfrac{P(S)\,P(G|S)}{P(G)}=\dfrac{0{,}56}{0{,}62}=0{,}903$

Sabiendo que gana más de 1000 euros, la probabilidad de que esté satisfecha es $0{,}903$, es decir, un $90{,}3\%$.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane menos de 1000 euros y esté satisfecha con su contrato?}$

Aquí no hay condicionamiento: se pide la probabilidad de que ocurran las dos cosas a la vez, que es el producto de las dos ramas correspondientes.

$P(\overline{G}\cap S)=P(S)\,P(\overline{G}|S)=0{,}70\cdot0{,}20=0{,}14$

La probabilidad de que gane menos de 1000 euros y esté satisfecha con su contrato es $0{,}14$, es decir, un $14\%$.