Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A5
La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2 % y en el nocturno es del 10 %.
Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,

a) calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa;
b) si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.

Los cuatro turnos producen a partes iguales, de modo que la probabilidad de que la pieza proceda de cualquiera de ellos es $\frac14$. Como tres son diurnos y uno nocturno, y los tres diurnos tienen el mismo porcentaje de piezas defectuosas, podemos agruparlos en un solo suceso:

$P(D)=\dfrac34,\qquad P(N)=\dfrac14$

Llamando $F$ al suceso «la pieza es defectuosa», los datos del enunciado se organizan así:



$\textbf{a) Calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.}$

Los dos tipos de turno forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que acaban en $F$.

$P(F)=P(D)\,P(F|D)+P(N)\,P(F|N)$

$=\dfrac34\cdot0{,}02+\dfrac14\cdot0{,}10$

$=0{,}015+0{,}025=0{,}04$

La probabilidad de que la pieza sea defectuosa es $0{,}04$, es decir, un $4\%$.

$\textbf{b) Si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.}$

Ahora el dato es el resultado final y se pregunta por el origen, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(D|F)=\dfrac{P(D)\,P(F|D)}{P(F)}$

$=\dfrac{\dfrac34\cdot0{,}02}{0{,}04}=\dfrac{0{,}015}{0{,}04}=0{,}375$

Sabiendo que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que proceda de un turno diurno es $0{,}375$, es decir, un $37{,}5\%$. Llama la atención que sea menor que la mitad pese a que los turnos diurnos son tres de cada cuatro: el turno nocturno produce cinco veces más defectos y eso pesa más que su menor número de turnos.