Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A5
Tenemos dos dados, uno normal y otro trucado. En el trucado hay 4 unos y 2 doses. Se elige un dado al azar y se tira dos veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?
b) Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un 1 y el de la segunda ha sido un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.

El dado normal tiene las seis caras distintas, luego cada resultado tiene probabilidad $\frac16$. El trucado tiene $4$ unos y $2$ doses sobre sus seis caras, de modo que solo puede salir $1$ o $2$:

$P(1\,|\,T)=\dfrac46=\dfrac23,\qquad P(2\,|\,T)=\dfrac26=\dfrac13$

Como el dado se elige al azar entre los dos, $P(N)=P(T)=\frac12$. Llamando $S$ al suceso «sale un $1$ en la primera tirada y un $2$ en la segunda», y teniendo en cuenta que las dos tiradas son independientes una vez elegido el dado:



$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?}$

Los dos dados forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total: se suman los productos de las ramas que acaban en $S$.

$P(S)=P(N)\,P(S|N)+P(T)\,P(S|T)$

$=\dfrac12\cdot\dfrac{1}{36}+\dfrac12\cdot\dfrac29$

$=\dfrac{1}{72}+\dfrac19=\dfrac{1}{72}+\dfrac{8}{72}=\dfrac{9}{72}=\dfrac18$

La probabilidad de obtener un $1$ en la primera tirada y un $2$ en la segunda es $\dfrac18=0{,}125$.

$\textbf{b) Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un 1 y el de la segunda ha sido un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.}$

Ahora el dato es el resultado de las tiradas y se pregunta por el dado, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: se aplica el teorema de Bayes.

$P(T|S)=\dfrac{P(T)\,P(S|T)}{P(S)}$

$=\dfrac{\dfrac12\cdot\dfrac29}{\dfrac18}=\dfrac{\dfrac19}{\dfrac18}=\dfrac19\cdot8=\dfrac89$

Sabiendo que ha salido un $1$ y luego un $2$, la probabilidad de que el dado elegido fuera el trucado es $\dfrac89\approx0{,}89$. Es un valor muy alto, lo cual tiene sentido: ese resultado es ocho veces más probable con el dado trucado que con el normal.