Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2022

Ejercicio A5
Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras:
T: 4 bolas negras y 6 blancas,
R: 7 bolas negras y 3 blancas.
Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:

(a) sean negras,
(b) sean blancas,
(c) sean de distinto color.

La urna $T$ tiene $4$ bolas negras y $6$ blancas, y la $R$ tiene $7$ negras y $3$ blancas; ambas con $10$ bolas. Al elegir urna al azar, $P(T)=P(R)=\frac12$.

Lo esencial es que la bola extraída se traslada a la otra urna, de modo que esta pasa a tener $11$ bolas y su composición depende del color que haya entrado. Llamamos $N$ y $B$ a los colores, con subíndice $1$ o $2$ según sea la primera o la segunda extracción.



$\textbf{(a) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras.}$

Se recorren las dos ramas del árbol que acaban en $N_2$ tras haber pasado por $N_1$, y se suman sus productos.

Si se empieza por $T$ y sale negra, la urna $R$ pasa a tener $8$ negras sobre $11$; si se empieza por $R$ y sale negra, la urna $T$ pasa a tener $5$ negras sobre $11$.

$P(N_1\cap N_2)=\dfrac12\cdot\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{8}{11}+\dfrac12\cdot\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{5}{11}$

$=\dfrac{32}{220}+\dfrac{35}{220}=\dfrac{67}{220}\approx0{,}305$

$\textbf{(b) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas.}$

Igual que antes, con las ramas que pasan por $B_1$ y acaban en $B_2$. Si se empieza por $T$ y sale blanca, $R$ pasa a tener $4$ blancas sobre $11$; si se empieza por $R$ y sale blanca, $T$ pasa a tener $7$ blancas sobre $11$.

$P(B_1\cap B_2)=\dfrac12\cdot\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{11}+\dfrac12\cdot\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{7}{11}$

$=\dfrac{24}{220}+\dfrac{21}{220}=\dfrac{45}{220}=\dfrac{9}{44}\approx0{,}205$

$\textbf{(c) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color.}$

Que sean de distinto color es el suceso contrario de que sean del mismo color, y este último ya está calculado como suma de los dos apartados anteriores, que son incompatibles.

$P(\text{distinto color})=1-\left[P(N_1\cap N_2)+P(B_1\cap B_2)\right]$

$=1-\left(\dfrac{67}{220}+\dfrac{45}{220}\right)=1-\dfrac{112}{220}=\dfrac{108}{220}=\dfrac{27}{55}\approx0{,}491$

La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color es $\dfrac{27}{55}$, casi la mitad.