Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Apartado 3 - Vibraciones y ondas - Opción 3A (3 puntos)





Un bloque de masa $m=400\text{ g}$, unido a un muelle de constante elástica $k$, oscila sin rozamiento sobre una superficie horizontal. La figura muestra los instantes $t=0$ y $t=\mathrm{2,0}\text{ s}$, para los que se tiene consecutivamente la máxima elongación del muelle. En este intervalo, el bloque se desplaza de derecha a izquierda.

a) Determina de forma razonada los valores del periodo, la frecuencia y la constante elástica del muelle. Escribe la expresión de la función $x(t)$. (1 punto)

b) Representa la gráfica de la posición del bloque en función del tiempo $x(t)$, señalando claramente sobre ella la amplitud, el periodo y el primer instante para el que la velocidad es máxima. Razona la respuesta. (1 punto)

c) Calcula de manera razonada la velocidad del bloque en el instante $t=\mathrm{3,0}\text{ s}$ e indica en qué sentido se moverá el bloque en ese instante. (1 punto)

La figura muestra dos elongaciones máximas consecutivas y opuestas: en $t=0$ el bloque está en $x=+\mathrm{5,0}$ cm y en $t=\mathrm{2,0}$ s, en $x=-\mathrm{5,0}$ cm. Entre dos extremos consecutivos del movimiento transcurre medio periodo, no uno entero:

${\displaystyle \frac{T}{2}}=\mathrm{2,0}\text{ s}\Rightarrow T=\mathrm{4,0}\text{ s}$

La frecuencia es la inversa del periodo:

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,0}}}=\mathrm{0,25}\text{ Hz}$

y la pulsación:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{4,0}}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad/s}$

En el movimiento armónico simple de un bloque unido a un muelle, la pulsación depende de la masa y de la constante elástica:

$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}\Rightarrow k=m{\omega }^2$

Con $m=400\text{ g}=\mathrm{0,400}\text{ kg}$:

$k=\mathrm{0,400}{\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^2=\mathrm{0,987}\text{ N/m}$

La amplitud es la elongación máxima que se lee en la figura, $A=\mathrm{5,0}\text{ cm}=\mathrm{0,050}\text{ m}$. Escribimos la elongación con el coseno e imponemos la posición inicial:

$x(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0),x(0)=A\Rightarrow \cos {\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0=0$

Por tanto:

$x(t)=\mathrm{0,050}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)\text{ m}$



La gráfica es una cosenoide de amplitud 5,0 cm y periodo 4,0 s que arranca en el extremo positivo:



La velocidad es la derivada de la posición:

$v(t)={\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-A\omega \mathrm{sen}\left(\omega t\right)$

y su módulo es máximo cuando $\mid \mathrm{sen}\left(\omega t\right)\mid =1$, es decir, cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio. Es lo que cabe esperar por energías: en $x=0$ el muelle no está deformado y toda la energía del oscilador es cinética.

El primer instante en que eso ocurre es un cuarto de periodo después del extremo:

$t={\displaystyle \frac{T}{4}}=\mathrm{1,0}\text{ s}$

y el valor de la velocidad allí es:

${\mid v\mid }_{\max }=A\omega =\mathrm{0,050}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-2}\text{ m/s}$



Partimos de la función de la velocidad del apartado anterior:

$v(t)=-A\omega \mathrm{sen}\left(\omega t\right)=-\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-2}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)$

Sustituyendo $t=\mathrm{3,0}$ s:

$v(\mathrm{3,0})=-\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-2}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=-\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-2}\cdot (-1)$

$v(\mathrm{3,0})=+\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-2}\text{ m/s}$

El signo positivo indica que el bloque se mueve hacia la derecha, en el sentido positivo del eje $X$.

El resultado es coherente con la gráfica: en $t=\mathrm{3,0}$ s el bloque pasa por la posición de equilibrio viniendo del extremo negativo, y por eso el módulo de la velocidad coincide con el valor máximo calculado en el apartado anterior.