Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2.5 puntos)

Rafa y Roger son dos tenistas que se han enfrentado a lo largo de sus carreras profesionales en tres tipos superficies: hierba, tierra batida y pista dura. El 10% de los partidos se jugaron en hierba y el 40% en tierra batida. Por otra parte, Rafa ganó el 25% de los partidos jugados en hierba, mientras que Roger ganó el 12.5% de los jugados en tierra batida y el 55% en pista dura. Se pide:

1.1 Entre todos sus enfrentamientos, ¿cuál es el porcentaje de partidos que ha ganado Roger? (0.75 puntos)
1.2 Si un partido fue ganado por Rafa, ¿cuál es la probabilidad de que se jugara en pista dura? (0.75 puntos)
1.3 Si tomamos una muestra de 10 partidos jugados en pista dura, ¿cuál es la probabilidad de que Roger haya ganado 5 o 6 partidos? (1 punto)

Definimos los sucesos:

$H=$ “el partido se jugó en hierba”, $T=$ “se jugó en tierra batida”, $D=$ “se jugó en pista dura” y $R=$ “el partido lo ganó Roger”.

Como los tres tipos de superficie cubren todos los enfrentamientos:

$P(H)=0{,}10,\qquad P(T)=0{,}40,\qquad P(D)=1-0{,}10-0{,}40=0{,}50$

Rafa ganó el 25 % de los partidos jugados en hierba, luego Roger ganó el 75 % restante. Con los otros dos datos del enunciado:

$P(R|H)=0{,}75,\qquad P(R|T)=0{,}125,\qquad P(R|D)=0{,}55$

$\textbf{1.1 Entre todos sus enfrentamientos, ¿cuál es el porcentaje de partidos que ha ganado Roger? (0,75 puntos)}$

Usamos el teorema de la probabilidad total:

$P(R)=P(R|H)P(H)+P(R|T)P(T)+P(R|D)P(D)$

Sustituyendo:

$P(R)=0{,}75\cdot0{,}10+0{,}125\cdot0{,}40+0{,}55\cdot0{,}50=0{,}075+0{,}05+0{,}275=0{,}40$

Roger ha ganado el 40 % de los partidos que han jugado.

$\textbf{1.2 Si un partido fue ganado por Rafa, ¿cuál es la probabilidad de que se jugara en pista dura? (0,75 puntos)}$

Que gane Rafa es el suceso contrario de que gane Roger, así que del apartado anterior:

$P(\overline{R})=1-P(R)=1-0{,}40=0{,}60$

En pista dura Roger gana el 55 % de los partidos, luego Rafa gana el 45 % restante:

$P(\overline{R}|D)=1-0{,}55=0{,}45$

Aplicamos la fórmula de Bayes:

$P(D|\overline{R})=\dfrac{P(\overline{R}|D)\,P(D)}{P(\overline{R})}$

Sustituyendo:

$P(D|\overline{R})=\dfrac{0{,}45\cdot0{,}50}{0{,}60}=\dfrac{0{,}225}{0{,}60}=0{,}375$

$\textbf{1.3 Si tomamos una muestra de 10 partidos jugados en pista dura, ¿cuál es la probabilidad de que Roger haya ganado 5 o 6 partidos? (1 punto)}$

Sea $X$ la variable aleatoria “número de partidos ganados por Roger entre los 10 jugados en pista dura”.

Cada uno de los 10 partidos lo gana Roger con probabilidad $p=0{,}55$, con independencia de los demás, de modo que:

$X\sim B(n=10,\,p=0{,}55)$

Usamos la fórmula binomial:

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Queremos:

$P(X=5)+P(X=6)$

Calculamos cada sumando:

$P(X=5)=\binom{10}{5}(0{,}55)^5(0{,}45)^5=252\cdot(0{,}55)^5(0{,}45)^5=0{,}2340$

$P(X=6)=\binom{10}{6}(0{,}55)^6(0{,}45)^4=210\cdot(0{,}55)^6(0{,}45)^4=0{,}2384$

Por tanto:

$P(X=5)+P(X=6)=0{,}2340+0{,}2384=0{,}4724$