Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Galicia · 2022

PREGUNTA 6. Resuelva este problema:
Un protón con una energía cinética de $\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-15}$ J penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 40 mT. Calcule:

a) el módulo de la fuerza a la que está sometido el protón dentro del campo;
b) el tipo de movimiento realizado por el protón, la trayectoria que describe y el radio de ésta.

Datos: $q_p=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}$ C; $m_p=\mathrm{1,67}\times {10}^{-27}$ kg.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sometido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo;}}$

Necesitamos primero la velocidad del protón, que se obtiene de su energía cinética:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_p{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_c}{m_p}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{4,0}\cdot {10}^{-15}}{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}}}}=\mathrm{2,19}\cdot {10}^6\text{ m/s}$

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

Como el protón penetra perpendicularmente al campo, el seno del ángulo vale la unidad y el módulo es simplemente:

$F=q_{p}vB$

$B=40\text{ mT}=\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-2}\text{ T}$

$F=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{2,19}\cdot {10}^6\cdot \mathrm{4,0}\cdot {10}^{-2}$

$F=\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-14}\text{ N}$

El módulo de la fuerza a la que está sometido el protón es $\mathrm{1,40}\cdot {10}^{-14}\text{ N}$. Es constante en módulo durante todo el movimiento, porque ni la velocidad ni el campo cambian de módulo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sta.}}$










La fuerza magnética es en todo instante perpendicular a la velocidad, por la propia definición del producto vectorial. De ello se siguen dos cosas:

i) La fuerza no realiza trabajo, porque es perpendicular al desplazamiento, así que la energía cinética y el módulo de la velocidad se mantienen constantes.

ii) Al ser constante en módulo y perpendicular a la velocidad, esa fuerza actúa como fuerza centrípeta.

El movimiento es, por tanto, circular uniforme, y la trayectoria una circunferencia contenida en el plano perpendicular al campo.





Igualamos la fuerza magnética a la fuerza centrípeta para obtener el radio:

$q_{p}vB={\displaystyle \frac{m_p{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{m_{p}v}{q_{p}B}}$

$R={\displaystyle \frac{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot \mathrm{2,19}\cdot {10}^6}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{4,0}\cdot {10}^{-2}}}$

$R=\mathrm{0,571}\text{ m}$

El protón describe un movimiento circular uniforme de radio $\mathrm{0,571}\text{ m}$, con un período que no depende de su velocidad:

$T={\displaystyle \frac{2\pi m_p}{q_{p}B}}=\mathrm{1,64}\cdot {10}^{-6}\text{ s}$