Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Galicia · 2024

PREGUNTA 6. Problema de interacción electromagnética. (2 puntos)
Un ión ${\mathrm{K}}^{+}$ potasio penetra con una velocidad $\vec{v}=8\times {10}^4\widehat{\mathrm{ı}}$ m/s en un campo magnético uniforme de intensidad $\vec{B}=\mathrm{0,1}\widehat{k}$ T describiendo una trayectoria circular de 65 cm de diámetro.

a) Calcule la masa del ion potasio.
b) Determine el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico que hay que aplicar en esta región para que el ion no se desvíe.

DATO: $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}$ C.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{potasio.}}$

El ion penetra con la velocidad perpendicular al campo magnético, así que el módulo de la fuerza magnética es $F=qvB$ y su dirección es siempre perpendicular a la velocidad. La fuerza no realiza trabajo, el módulo de la velocidad no cambia y la trayectoria es una circunferencia: la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta.

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow m={\displaystyle \frac{qBR}{v}}$

El dato es el diámetro, así que el radio es la mitad:

$R={\displaystyle \frac{65\text{ cm}}{2}}=\mathrm{0,325}\text{ m}$

El ion ${\text{K}}^{+}$ ha perdido un electrón, luego su carga es la del electrón en valor absoluto:

$q=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,325}}{8\cdot {10}^4}}$

$m=\mathrm{6,5}\cdot {10}^{-26}\text{ kg}$

La masa del ion potasio es $\mathrm{6,5}\cdot {10}^{-26}\text{ kg}$. El resultado es razonable: dividido entre la unidad de masa atómica, $\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$, da unas 39 u, que es la masa atómica del potasio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aplicar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desv}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{e.}}$










Para que el ion no se desvíe, la fuerza total sobre él ha de ser nula: es el principio del selector de velocidades.

${\vec{F}}_E+{\vec{F}}_M=\vec{0}$

$q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}=\vec{0}\Rightarrow \vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}$

Calculamos el producto vectorial con $\vec{v}=8\cdot {10}^4\widehat{\mathrm{ı}}$ m/s y $\vec{B}=\mathrm{0,1}\widehat{k}$ T, teniendo en cuenta que $\widehat{\mathrm{ı}}\times \widehat{k}=-\widehat{\mathrm{ȷ}}$:





$\vec{v}\times \vec{B}=8\cdot {10}^4\cdot \mathrm{0,1}(\widehat{\mathrm{ı}}\times \widehat{k})=-8\cdot {10}^3\widehat{\mathrm{ȷ}}$

Por tanto:

$\vec{E}=+8\cdot {10}^3\widehat{\mathrm{ȷ}}\text{ V/m}$

El campo eléctrico que hay que aplicar tiene módulo $8\cdot {10}^3\text{ V/m}$, dirección del eje $Y$ y sentido positivo.

Se comprueba el signo: sobre el ion, de carga positiva, la fuerza eléctrica $q\vec{E}$ apunta hacia $+\widehat{\mathrm{ȷ}}$ y la magnética $q\vec{v}\times \vec{B}$ hacia $-\widehat{\mathrm{ȷ}}$, de modo que se anulan y el ion atraviesa la región en línea recta con velocidad constante.