Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

A.1.- Sean dos hilos paralelos e infinitos, separados una distancia “d”, que transportan sendas corrientes de intensidades $I_1$ e $I_2=4I_1$ respectivamente, en el mismo sentido. Calcular, entre ambos hilos y en el plano en el que se encuentran:

a) El campo magnético $\vec{B}$ en módulo, dirección y sentido, a mitad de distancia entre los dos hilos conductores.
b) Los puntos en los que $\vec{B}$ es nulo.
c) Repetir los cálculos anteriores, si $I_2$ invierte su sentido.

Datos:
Campo magnético generado a una distancia r por un conductor rectilíneo e infinito:
$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}};{\mu }_0=4\pi {10}^{-7}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{A}$

Cada hilo crea en el punto medio un campo perpendicular al plano que los contiene, es decir, perpendicular al papel. Como las dos corrientes circulan en el mismo sentido, en la región comprendida entre ellas las líneas de campo de una y otra se recorren en direcciones contrarias, de modo que los dos campos tienen la misma dirección y sentidos opuestos.

Ambos se calculan a la distancia $r=d\mathrm{/}2$:

$B_1={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi \frac{d}{2}}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}$





$B_2={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi \frac{d}{2}}}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}4I_1}{\pi d}}={\displaystyle \frac{4{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}$

Al ser opuestos, el módulo del resultante es la diferencia de los módulos:

$B=B_2-B_1={\displaystyle \frac{4{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}-{\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}={\displaystyle \frac{3{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}$

El campo en el punto medio vale $3{\mu }_0{I}_1\mathrm{/}(\pi d)$, tiene la dirección perpendicular al plano de los dos conductores y el sentido del campo creado por el hilo de mayor intensidad, es decir, el de $I_2$. Con las corrientes saliendo del papel, ese sentido es el que apunta hacia abajo en el plano del dibujo.



El campo total se anula donde los dos campos, ya opuestos en toda esa región, tienen además el mismo módulo. Llamando $x$ a la distancia al hilo de $I_1$, la distancia al otro es $d-x$:

${\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi x}}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}4I_1}{2\pi (d-x)}}$

$d-x=4x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{d}{5}}$

El campo se anula en los puntos de la recta que une los conductores situados a $d\mathrm{/}5$ del hilo por el que circula $I_1$, y por tanto a $4d\mathrm{/}5$ del otro. El punto queda desplazado hacia el conductor de menor intensidad, que es lo esperable: para compensar un campo cuatro veces mayor hay que acercarse al hilo más débil.



Al invertir $I_2$ se invierte también el sentido de ${\vec{B}}_2$, con lo que en la región intermedia los dos campos pasan a tener el mismo sentido y se suman en lugar de restarse. Los módulos no cambian:

$B^{\mathrm{\prime }}=B_1+B_2={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}+{\displaystyle \frac{4{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}={\displaystyle \frac{5{\mu }_0{I}_1}{\pi d}}$

En el punto medio el campo vale ahora $5{\mu }_0{I}_1\mathrm{/}(\pi d)$, con la misma dirección de antes y el sentido del campo creado por $I_2$; con $I_1$ saliente e $I_2$ entrante, apunta hacia abajo en el plano del dibujo. Es cinco tercios del valor del apartado a).

En cuanto al punto de campo nulo, ya no existe entre los dos hilos: allí los dos campos tienen el mismo sentido y su suma no puede anularse en ningún punto. El campo total solo se anularía fuera del segmento, en el lado del conductor de menor intensidad, a una distancia $x$ de él que cumpla $x+d=4x$, esto es, $x=d\mathrm{/}3$; pero eso queda fuera de la región que pide el enunciado.