Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

B.2.- Fuerza ejercida dentro de un campo magnético uniforme:

a) sobre una carga puntual en movimiento (ejemplo: trayectoria cuando la velocidad de la carga es perpendicular al campo).
b) sobre un conductor lineal de corriente eléctrica.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{(ejemplo:}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{campo).}}$










Una carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v}$ dentro de un campo magnético $\vec{B}$ experimenta la fuerza de Lorentz:

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B};F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\mathrm{sen}\theta$

siendo $\theta$ el ángulo entre la velocidad y el campo. Al tratarse de un producto vectorial, la fuerza es perpendicular al plano que forman $\vec{v}$ y $\vec{B}$, y su sentido lo da la regla de la mano derecha, invertido si la carga es negativa.





De la expresión se siguen dos consecuencias importantes. La primera es que una carga en reposo no sufre fuerza magnética, y tampoco la sufre si se mueve paralelamente al campo, pues entonces el seno se anula. La segunda es que la fuerza magnética nunca realiza trabajo, porque es perpendicular al desplazamiento en todo instante:

$W={\displaystyle \int \vec{F}\cdot d\vec{r}=0}$

Por tanto, el campo magnético no puede cambiar el módulo de la velocidad ni la energía cinética de la carga: solo cambia su dirección.

En el caso particular en que la velocidad es perpendicular al campo, $\theta ={90}^{\circ }$, la fuerza tiene módulo constante $F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB$ y es siempre perpendicular a la velocidad, es decir, actúa como fuerza centrípeta. La trayectoria es entonces una circunferencia recorrida con movimiento uniforme, cuyo radio se obtiene igualando la fuerza magnética a la centrípeta:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi R}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi m}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

El periodo no depende de la velocidad, hecho en el que se basa el funcionamiento del ciclotrón. Si la velocidad tuviera además una componente paralela al campo, esa componente no se vería afectada y la trayectoria sería una hélice.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{conductor}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica.}}$

Una corriente eléctrica no es más que un conjunto de cargas en movimiento, de manera que la fuerza sobre el conductor es la suma de las fuerzas de Lorentz sobre todos sus portadores. Para un conductor rectilíneo de longitud $L$ recorrido por una intensidad $I$ e inmerso en un campo uniforme, el resultado es la ley de Laplace:

$\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B};F=BIL\mathrm{sen}\theta$

donde $\vec{L}$ es un vector de módulo la longitud del conductor y dirección y sentido los de la corriente, y $\theta$ el ángulo que forma con el campo. La fuerza es máxima cuando el conductor es perpendicular al campo y nula cuando es paralelo a él.

Esta fuerza es la responsable del giro de los motores eléctricos y la que explica la interacción entre corrientes paralelas, que se atraen si circulan en el mismo sentido y se repelen si lo hacen en sentidos contrarios. Sobre esa interacción se definió durante décadas el amperio como unidad fundamental del Sistema Internacional.