Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

P2. (3 puntos)

La partícula muón $({\mu }^{-})$ tiene la misma carga eléctrica que el electrón.

a) Determinar la fuerza eléctrica con que se repelen un electrón y un muón separados una distancia de $4\text{ nm}$. (1 punto)

b) Si aceleramos muones desde el reposo mediante una diferencia de potencial de $2\text{ kV}$, determinar la energía cinética que adquieren los muones. (1 punto)

c) A continuación los muones entran en una zona con un campo magnético uniforme de $3\cdot {10}^{-3}\text{ T}$ perpendicular a su velocidad. Si se inyectan electrones con la misma velocidad en el mismo campo magnético la trayectoria descrita por los electrones tiene un radio que es $206$ veces más pequeño que en el caso de los muones. Obtener la masa de un muón. (1 punto)

Datos: masa del electrón $=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; carga del electrón $=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $1\mathrm{/}4\pi {\epsilon }_0=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{repelen}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mu}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mtext> nm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El muón tiene la misma carga que el electrón, de modo que ambas partículas tienen carga del mismo signo y la fuerza entre ellas es repulsiva. Aplicamos la ley de Coulomb.

$F={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{r^2}}$

Sustituimos en unidades del SI, con $r=4\text{ nm}=4\cdot {10}^{-9}\text{ m}$.

$F=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{(\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{)}^2}{(4\cdot {10}^{-9}{)}^2}}=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-11}\text{ N}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{aceleramos}}\mathbf{\text{muones}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mtext> kV</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{adquieren}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{muones.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Por el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo que el campo eléctrico realiza sobre la carga se invierte íntegramente en energía cinética, ya que la partícula parte del reposo.

$E_c=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }V=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}\cdot 2000\text{ V}=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-16}\text{ J}$

Equivale a $2\text{ keV}$. Obsérvese que la energía adquirida no depende de la masa, sino solo de la carga y de la diferencia de potencial: muones y electrones acelerados por los mismos $2\text{ kV}$ alcanzan la misma energía cinética, aunque no la misma velocidad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{continuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{muones}}\mathbf{\text{entran}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{uniforme}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mrow></msup><mtext> T</mtext></mrow>}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{inyectan}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{radio}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">206</mn>}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{muones.}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mu}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Una carga que entra perpendicularmente a un campo magnético uniforme describe un movimiento circular uniforme, porque la fuerza magnética de Lorentz actúa como fuerza centrípeta.

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$





Muón y electrón tienen la misma carga, entran con la misma velocidad y recorren el mismo campo, de modo que el radio resulta directamente proporcional a la masa.

${\displaystyle \frac{r_{\mu }}{r_e}}={\displaystyle \frac{m_{\mu }}{m_e}}=206$

$m_{\mu }=206m_e=206\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}=\mathrm{1,87}\cdot {10}^{-28}\text{ kg}$

El valor concuerda con el real del muón, unas $207$ masas del electrón. Nótese que el campo $B=3\cdot {10}^{-3}\text{ T}$ no interviene en el resultado, pues se cancela al ser el mismo para las dos partículas.