Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

A.2.- Una partícula con carga 1 $\mu$C se mueve con velocidad $v=2\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ȷ}}$ m/s y entra en una zona donde existe un campo magnético de valor $B=2\cdot {10}^{-4}\vec{\mathrm{ı}}$ T.

a) Determinar el valor de la fuerza magnética ejercida por el campo sobre la partícula.
b) Dibujar los vectores correspondientes a la velocidad de la partícula, al campo magnético y a la fuerza magnética.
c) Calcular la masa de la partícula sabiendo que describe una trayectoria circular de radio $2\cdot {10}^{-10}$ km

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{ejercida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula.}}$

Sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Como la velocidad va según el eje $Y$ y el campo según el eje $X$, son perpendiculares entre sí y el producto vectorial se reduce a $\vec{\mathrm{ȷ}}\times \vec{\mathrm{ı}}=-\vec{k}$:

$\vec{F}={10}^{-6}(2\cdot {10}^6\vec{\mathrm{ȷ}}\times 2\cdot {10}^{-4}\vec{\mathrm{ı}})={10}^{-6}\cdot 4\cdot {10}^2(\vec{\mathrm{ȷ}}\times \vec{\mathrm{ı}})$

$\vec{F}=-4\cdot {10}^{-4}\vec{k}\text{ N}$

La fuerza magnética vale $4\cdot {10}^{-4}\text{ N}$ y está dirigida en el sentido negativo del eje $Z$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vectores}}\mathbf{\text{correspondientes}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica.}}$










Los tres vectores son perpendiculares entre sí: la velocidad según el eje $Y$, el campo según el eje $X$ y la fuerza, perpendicular al plano que forman ambos, según el eje $Z$ negativo.

Conviene recordar que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad y, en consecuencia, nunca realiza trabajo: no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección.





$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">10</mn></mrow></msup><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Al ser la velocidad perpendicular al campo, la fuerza magnética tiene módulo constante y es siempre perpendicular a la velocidad: actúa como fuerza centrípeta y la trayectoria resulta circular.

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow m={\displaystyle \frac{qBR}{v}}$

El radio, pasado a metros, es $R=2\cdot {10}^{-10}\text{ km}=2\cdot {10}^{-7}\text{ m}$:

$m={\displaystyle \frac{{10}^{-6}\cdot 2\cdot {10}^{-4}\cdot 2\cdot {10}^{-7}}{2\cdot {10}^6}}=2\cdot {10}^{-23}\text{ kg}$

La masa de la partícula es de $2\cdot {10}^{-23}\text{ kg}$, del orden de la de un átomo pesado: unas veinte mil veces la del electrón y una decena de veces la del protón. Nótese que el radio de giro es directamente proporcional a la masa, hecho en el que se basa el espectrómetro de masas para separar isótopos.