Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Galicia · 2022

PREGUNTA 6. Resuelva este problema:
Una partícula de masa 8 ng y carga eléctrica −2 $\mu \mathrm{C}$ entra en una región del espacio en la que hay un campo magnético $\mathbf{B}=3\mathbf{j}$ T, con una velocidad $\mathbf{v}=6\mathbf{i}$ $\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Calcular:

a) la velocidad angular con que se mueve;
b) la intensidad de campo eléctrico (vector) que se debe aplicar para que la partícula siga una trayectoria rectilínea.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve;}}$

La velocidad y el campo son perpendiculares —una va según el eje $X$ y el otro según el eje $Y$—, así que el módulo de la fuerza magnética es $F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB$ y su dirección es siempre perpendicular a la velocidad. La fuerza no realiza trabajo, el módulo de la velocidad no cambia y la trayectoria es una circunferencia recorrida con movimiento circular uniforme: la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta.

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es:

$\omega ={\displaystyle \frac{v}{R}}={\displaystyle \frac{v\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}{mv}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}{m}}$

Es un resultado notable: la velocidad angular —y por tanto el período— no depende de la velocidad de la partícula, solo de su relación carga-masa y del campo. Expresamos los datos en unidades del SI:

$m=8\text{ ng}=8\cdot {10}^{-12}\text{ kg}\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=2\mu \text{C}=2\cdot {10}^{-6}\text{ C}$

$\omega ={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}\cdot 3}{8\cdot {10}^{-12}}}$

$\omega =\mathrm{7,5}\cdot {10}^5\text{ rad/s}$

La velocidad angular es $\mathrm{7,5}\cdot {10}^5\text{ rad/s}$, lo que corresponde a un período de $T=2\pi \mathrm{/}\omega =\mathrm{8,4}\mu \text{s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{(vector)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{aplicar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{siga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{rectil}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea.}}$










Para que la trayectoria sea rectilínea la fuerza total sobre la partícula debe ser nula: es el principio del selector de velocidades.

${\vec{F}}_E+{\vec{F}}_M=\vec{0}$

$q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}=\vec{0}$

La carga se simplifica, así que el campo necesario no depende ni de su valor ni de su signo:

$\vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}$





Calculamos el producto vectorial, con $\vec{v}=6\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ı}}$ m/s y $\vec{B}=3\vec{\mathrm{ȷ}}$ T, y teniendo en cuenta que $\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{\mathrm{ȷ}}=\vec{k}$:

$\vec{v}\times \vec{B}=6\cdot {10}^3\cdot 3(\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{\mathrm{ȷ}})=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\vec{k}$

Por tanto:

$\vec{E}=-\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\vec{k}\text{ N/C}$

El campo eléctrico que hay que aplicar tiene módulo $\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ N/C}$, dirección del eje $Z$ y sentido negativo.

Se comprueba el signo: sobre la partícula, de carga negativa, la fuerza eléctrica $q\vec{E}$ apunta hacia $+\vec{k}$ y la magnética $q\vec{v}\times \vec{B}$ hacia $-\vec{k}$, de modo que se anulan.