Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Una empresa produce dos tipos de piezas, de hierro y de acero. El 60 % de la producción total corresponde a piezas de hierro y el resto son de acero. Sabemos que el 95 % de las piezas de hierro producidas no tienen ningún defecto, mientras que el 3 % de las piezas de acero son defectuosas.

a) Si cogemos una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? [0,75 puntos]
b) La empresa pronto diversificará la producción y comenzará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido $p$, y cada pieza es defectuosa independientemente de las otras, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de $p$) es $f(p) = 5(p^4 - p^5)$. [0,75 puntos]
c) Considere la función $f(p)$ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma $f(p)$ cuando $p \ge 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Si cogemos una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? (0,75 puntos)}$

Llamamos $H$ al suceso «la pieza es de hierro», $A$ a «la pieza es de acero» y $D$ a «la pieza es defectuosa». Del enunciado, $P(H)=0{,}60$ y $P(A)=0{,}40$; el $95\%$ de las de hierro no tiene defectos, así que $P(D\mid H)=0{,}05$, y $P(D\mid A)=0{,}03$.



Una pieza defectuosa puede ser de cualquiera de los dos materiales, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $D$.

$P(D)=P(H)\cdot P(D\mid H)+P(A)\cdot P(D\mid A)$

$P(D)=0{,}60\cdot0{,}05+0{,}40\cdot0{,}03=0{,}03+0{,}012=0{,}042$

La probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa es $0{,}042$, es decir, un $4{,}2\%$ de la producción.

$\textbf{b) Compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de }\boldsymbol{p}\textbf{) es }\boldsymbol{f(p)=5(p^4-p^5)}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Cada pieza de titanio es defectuosa o no lo es, con probabilidad constante $p$ y de manera independiente de las demás, así que el número de piezas defectuosas en un paquete de cinco sigue una distribución binomial $X\sim B(5,p)$.

$P(X=k)=\binom{5}{k}p^k(1-p)^{5-k}$

$P(X=4)=\binom{5}{4}p^4(1-p)^{1}=5p^4(1-p)$

$5p^4(1-p)=5\left(p^4-p^5\right)$

Queda comprobado que la probabilidad pedida es $f(p)=5\left(p^4-p^5\right)$.

$\textbf{c) Considere la función }\boldsymbol{f(p)}\textbf{ del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma }\boldsymbol{f(p)}\textbf{ cuando }\boldsymbol{p\ge 0}\textbf{. (1 punto)}$

Se trata de un problema de extremos: derivamos, igualamos a cero y estudiamos el signo de la derivada.

$f'(p)=5\left(4p^3-5p^4\right)=5p^3(4-5p)$

$f'(p)=0 \Rightarrow p=0 \ \text{ o } \ p=\dfrac{4}{5}$

En $p\ge0$ el factor $5p^3$ no es negativo, de manera que el signo lo marca $4-5p$.



La función crece hasta $p=\dfrac{4}{5}$ y decrece a partir de ahí, luego en ese punto hay un máximo absoluto en el intervalo $[0,+\infty)$.

$f\left(\dfrac{4}{5}\right)=5\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\left(1-\dfrac{4}{5}\right)=5\cdot\dfrac{256}{625}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{256}{625}$

$\dfrac{256}{625}=0{,}4096$

El valor máximo de $f(p)$ es $0{,}4096$, y se alcanza cuando la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es $p=0{,}8$.