Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2025

Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 4 Hz y una amplitud de 6 cm. Si la perturbación se propaga de izquierda a derecha con una velocidad de 1 m/s, escriba la expresión (ecuación de la onda) que representa el movimiento por la cuerda. Las condiciones iniciales son: $t=0\text{ s}$; $x=0\text{ cm}$; $y=-6\text{ cm}$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje $X$, de modo que su ecuación tiene la forma

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

Calculamos una a una las tres constantes a partir de los datos. La amplitud es la que da el enunciado:

$A=6\text{ cm}=\mathrm{0,06}\text{ m}$

La frecuencia angular sale de la frecuencia de agitación:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 4=8\pi \text{ rad/s}$

Y el número de ondas, de la longitud de onda, que se obtiene de la velocidad de propagación:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}\text{ m}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=8\pi \text{ rad/m}$

La fase inicial se impone con las condiciones del enunciado: en $t=0$ y $x=0$ la elongación es $-6$ cm, es decir, la mínima posible.

$y(0,0)=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}{\phi }_0=-\mathrm{0,06}\Rightarrow \mathrm{sen}{\phi }_0=-1$

${\phi }_0=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

La ecuación de la onda es, por tanto,

$y(x,t)=\mathrm{0,06}\mathrm{sen}(8\pi t-8\pi x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{ (m)}$

que también puede escribirse, usando la relación entre el seno y el coseno, como

$y(x,t)=-\mathrm{0,06}\cos (8\pi (t-x))\text{ (m)}$

Se comprueba de inmediato que en el origen y en el instante inicial vale $-\mathrm{0,06}$ m, como pedía el enunciado.