Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2025

En una cuerda tensa se propaga una onda armónica en la dirección del eje X. La ecuación de la onda viene dada por: $y=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}(2\pi x-4\pi t)$, donde $y$ está en metros, $x$ en metros y $t$ en segundos.

a) Determina la amplitud, el número de onda y la frecuencia angular de la onda. [0,5 puntos]

b) Calcula la frecuencia y la longitud de onda. [0,5 puntos]

c) Halla la velocidad de propagación de la onda y especifica su sentido de propagación. [0,5 puntos]

d) Calcula la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra en el punto $x=2$ m en el instante $t=1$ s. [0,5 puntos]

e) Halla la velocidad de oscilación transversal de dicho punto $x=2$ m en el instante $t=1$ s. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que se propaga por una cuerda:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(kx-\omega t)$

Identificando término a término:

$A=\mathrm{0,05}\text{ m}$

$k=2\pi \text{ rad/m}$

$\omega =4\pi \text{ rad/s}$

La amplitud es de $\mathrm{0,05}\text{ m}$, el número de onda vale $2\pi \text{ rad/m}$ y la frecuencia angular, $4\pi \text{ rad/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La frecuencia angular y el número de onda son las dos periodicidades de la onda, la temporal y la espacial:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{4\pi }{2\pi }}$

$f=2\text{ Hz}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{2\pi }}$

$\lambda =1\text{ m}$

Cada punto de la cuerda completa dos oscilaciones por segundo, y la perturbación se repite cada metro.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{especifica}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad con que avanza la perturbación es:

$v=\lambda f={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{4\pi }{2\pi }}$

$v=2\text{ m/s}$

En cuanto al sentido, la fase se escribe $kx-\omega t$, con los dos términos de signo contrario. Para que un punto conserve su estado de vibración, al aumentar $t$ debe aumentar también $x$:

$kx-\omega t=\text{cte}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\omega }{k}}t+\text{cte}$

La onda se propaga a $2\text{ m/s}$ en el sentido positivo del eje X.



Basta sustituir los dos valores en la ecuación de la onda:

$y(2,1)=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}(2\pi \cdot 2-4\pi \cdot 1)=\mathrm{0,05}\mathrm{sen}(4\pi -4\pi )$

$y(2,1)=0\text{ m}$

En ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio. No quiere decir que esté en reposo: es justo donde la velocidad de vibración es máxima.



La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición del punto:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \cos (kx-\omega t)$

$v_y=-\mathrm{0,05}\cdot 4\pi \cos (4\pi -4\pi )=-\mathrm{0,2}\pi \cdot 1$

$v_y=-\mathrm{0,63}\text{ m/s}$

El punto se mueve a $\mathrm{0,63}\text{ m/s}$ en sentido negativo del eje Y. Como se anticipaba en el apartado anterior, el módulo coincide con la velocidad máxima de vibración, $A\omega$, porque el punto está pasando por el equilibrio. No debe confundirse con la velocidad de propagación, $2\text{ m/s}$: esta última es la de la perturbación a lo largo de la cuerda, no la de la materia.